X-ENS 2023, Приемен изпит, физика и химия — Задача 11. II.4 Effet dû aux variations locales d’intensité du laser

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI — ECOLES NORMALES SUPERIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2023 — FILIERE PC - Epreuve n° 5 — PHYSIQUE B (XEULS) — Mesure de la constante de structure fine · 19 април 2023 г.

Constantes fondamentales et autres valeurs numériques

Constantes fondamentales et autres valeurs numériques :

  • célérité de la lumière dans le vide : c≃3×108 m⋅s−1c \simeq 3 \times 10^{8}\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}
  • permittivité diélectrique du vide : ϵ0≃9×10−12 F⋅m−1\epsilon_0 \simeq 9 \times 10^{-12}\ \mathrm{F \cdot m^{-1}}
  • charge élémentaire : e≃1,5×10−19 Ce \simeq 1{,}5 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}
  • constante de Planck : h≃7×10−34 J⋅sh \simeq 7 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}
  • constante de Planck réduite : ℏ=h/2π≃1×10−34 J⋅s\hbar = h/2\pi \simeq 1 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}
  • constante de Boltzmann : kB≃1,5×10−23 J⋅K−1k_B \simeq 1{,}5 \times 10^{-23}\ \mathrm{J \cdot K^{-1}}
  • masse atomique d’un atome de Rubidium 87 : m≃1,5×10−25 kgm \simeq 1{,}5 \times 10^{-25}\ \mathrm{kg}
Увод

Ce sujet propose de s’intéresser à la mesure de la constante de structure fine α\alpha, dont Richard Feynman, célèbre physicien du XXe^{\mathrm{e}} siècle, disait qu’elle est “l’un des plus grands mystères de la physique : un nombre magique qui nous parvient sans que l’homme puisse le comprendre.”

Cette constante, sans dimension, est directement reliée à l’interaction électromagnétique. Elle est donnée par la relation :

α=e24πϵ0ℏc(1)\alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c} \qquad (1)

Une valeur approchée de α\alpha est 1/1371/137. La mesure la plus précise à ce jour donne :

1/α=137,035999206±11×10−9(2)1/\alpha = 137{,}035999206 \pm 11 \times 10^{-9} \qquad (2)

soit une incertitude relative de l’ordre de 8×10−118 \times 10^{-11}. Ce sujet a pour but d’expliquer comment la constante de structure fine α\alpha a pu être mesurée avec une telle précision.

Условие

Les lasers utilisés dans l’expérience traversent des milieux d’indices différents et sont réfléchis par de nombreux éléments optiques, qui peuvent avoir une surface irrégulière (poussières, défauts,...). Il en résulte des fluctuations spatiales de l’intensité du faisceau laser.

Dans cette partie, on s’intéresse à un faisceau laser se propageant selon la direction (Oz)(\mathrm{O}z). L’intensité I(x,y,z)I(x, y, z) du laser n’est pas uniforme et fluctue autour de la valeur moyenne I0I_0. On note ϕ(r⃗)=kz+ϕ′(r⃗)\phi(\vec{r}) = kz + \phi'(\vec{r}) la phase du faisceau, avec k=2π/λk = 2\pi/\lambda et ϕ′(r⃗)\phi'(\vec{r}) un terme qui représente l’écart par rapport au cas idéal d’une onde plane de vecteur d’onde k⃗=ke⃗z\vec{k} = k\vec{e}_z.

Pour simplifier, on suppose dans la suite que le faisceau ne fluctue que selon les directions (Ox)(\mathrm{O}x) et (Oz)(\mathrm{O}z) (le faisceau est uniforme selon la direction (Oy)(\mathrm{O}y)).

On donne en Fig. 6 une simulation de la propagation d’un faisceau présentant des fluctuations spatiales d’intensité selon (Ox)(\mathrm{O}x) sur des échelles spatiales de l’ordre de 100 μm100\ \mathrm{\mu m}. À gauche est montré le profil d’intensité I(x,z)/I0I(x, z)/I_0. La figure de droite montre l’évolution de ϕ′(x,z)\phi'(x, z).

Deux cartes en couleurs côte à côte, abscisse x (µm) de −300 à 200, ordonnée z (cm) de 50 à 54 avec une flèche « Propagation » vers le bas. À gauche « Intensity » avec échelle de couleurs de 0,78 à 1,26 ; à droite « Phase » avec échelle de couleurs de −0,045 à 0,045. Les maxima d’intensité sont entourés de contours en trait plein, les minima de contours en pointillé, reportés sur les deux cartes.
Figure 6 – Simulation de la propagation d’un faisceau laser présentant initialement un profil d’intensité hétérogène selon l’axe (Ox)(\mathrm{O}x) sur des échelles spatiales de l’ordre de 100 μm100\ \mathrm{\mu m}. Le faisceau se propage selon l’axe (Oz)(\mathrm{O}z) dans le sens des zz croissants. À gauche : profil d’intensité I(x,z)/I0I(x, z)/I_0 (où I0I_0 est l’intensité moyenne du faisceau). L’échelle de couleurs située à gauche de l’image indique la valeur de I(x,z)/I0I(x, z)/I_0 (valeur sans unité). À droite : évolution de la phase ϕ′\phi' du champ électrique associé. L’échelle de couleurs située à droite de l’image indique la valeur de ϕ′\phi' en rad.

19. Comment évolue la phase spatiale ϕ′\phi' selon (Oz)(\mathrm{O}z) dans les régions associées aux maxima d’intensité (repérées par un contour en trait plein) ? Comment évolue-t-elle dans les régions associées aux minima d’intensité (repérées par un trait pointillé) ? En déduire le signe de δkrel\delta k_{\mathrm{rel}} dans chacun de ces deux cas.

La corrélation δkrel\delta k_{\mathrm{rel}} est ainsi directement reliée au profil d’intensité. On admet qu’en bonne approximation, pour un faisceau se propageant selon (Oz)(\mathrm{O}z), cette correction est donnée par l’équation :

δkrel≃14k2Δ⊥II0(21)\delta k_{\mathrm{rel}} \simeq \frac{1}{4k^2}\frac{\Delta_\perp I}{I_0} \qquad (21)

avec Δ⊥I=∂2I∂x2+∂2I∂y2\Delta_\perp I = \dfrac{\partial^2 I}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 I}{\partial y^2}.

20.a Tracer l’allure du profil d’intensité I(x,z)I(x, z) en fonction de xx pour z=52 cmz = 52\ \mathrm{cm}. Repérer les régions où ∂2I∂x2>0\dfrac{\partial^2 I}{\partial x^2} > 0 et où ∂2I∂x2<0\dfrac{\partial^2 I}{\partial x^2} < 0.

20.b En utilisant l’Éq. 21, en déduire le signe δkrel\delta k_{\mathrm{rel}} dans les régions associées aux maxima et aux minima d’intensité, et vérifier que l’on retrouve bien les résultats donnés à la question 19. Commenter ce résultat au regard du signe de la correction de Gouy trouvée précédemment (question 18.c), qui est la correction obtenue au foyer optique d’un faisceau gaussien, où l’intensité est maximale.

Le signe de la correction δkrel\delta k_{\mathrm{rel}} dépend des fluctuations de l’intensité. On note ⟨δkrel⟩\langle\delta k_{\mathrm{rel}}\rangle la correction moyenne, où la moyenne est effectuée selon xx sur une échelle spatiale de l’ordre de la taille du nuage atomique étudié (∼1 mm\sim 1\ \mathrm{mm}).

On pourrait a priori s’attendre à ce que ⟨δkrel⟩\langle\delta k_{\mathrm{rel}}\rangle soit nul, c’est-à-dire que l’effet dû aux régions où ⟨δkrel⟩\langle\delta k_{\mathrm{rel}}\rangle est positif soit en moyenne compensé par celui où ⟨δkrel⟩\langle\delta k_{\mathrm{rel}}\rangle est négatif. Ce n’est en réalité pas le cas. En effet, dans l’expérience de mesure de mm, la probabilité d’absorption d’un photon par un atome dépend de l’intensité : il est d’autant plus probable pour un atome d’absorber un photon (et donc de subir une variation de quantité de mouvement pzp_z selon (Oz)(\mathrm{O}z)) que l’intensité est élevée.

21. En déduire le signe de la correction moyenne ⟨δkrel⟩\langle\delta k_{\mathrm{rel}}\rangle associée aux fluctuations d’intensité.

Un tel effet doit être estimé afin de corriger la valeur de mm mesurée. Ceci est permis par des mesures précises du profil d’intensité des faisceaux lasers utilisés.

22. Si expérimentalement on chassait tous les atomes situés dans les maxima d’intensité du faisceau, l’impulsion des photons p⃗\vec{p} ne serait alors transférée qu’aux atomes situés dans les minima d’intensité. Comparer ⟨pz⟩\langle p_z\rangle, la variation moyenne de quantité de mouvement d’un atome selon l’axe (Oz)(\mathrm{O}z) due à l’absorption d’un photon, à la valeur attendue dans le cas où le faisceau laser serait une onde plane de vecteur d’onde k⃗=ke⃗z\vec{k} = k\vec{e}_z. Est-ce surprenant ?

- Fin des questions -

Решение

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Pour aller plus loin

Pour aller plus loin :

Le Modèle standard est actuellement la théorie la plus aboutie pour décrire les particules élémentaires et trois des quatre interactions fondamentales de l’univers (interactions électromagnétique, forte et faible). En revanche, ce modèle n’inclut pas l’interaction gravitationnelle et ne permet ni de comprendre la “matière noire”, ni l’“énergie sombre”, ni les différences de proportion observées dans l’Univers entre matière et anti-matière. Les mesures extrêmement précises de certaines constantes fondamentales imposent des contraintes fortes sur les nouvelles théories candidates, et permettent d’écarter celles dont les prévisions sont incompatibles avec les résultats de la mesure.

Comme indiqué au début du sujet, la mesure la plus précise de α\alpha a été effectuée par interférométrie atomique, et repose sur la mesure de la masse de l’atome de Rubidium 87.

La valeur de 1/α1/\alpha reportée en Éq. (3) est déterminée à partir d’une autre mesure : la valeur du “moment magnétique anomal” de l’électron¹, grandeur sans dimension notée aea_e. Cette grandeur peut être reliée théoriquement à α\alpha par des calculs effectués dans le cadre du Modèle Standard :

ae=∑i=0+∞Ciαi+ae,0(22)a_e = \sum_{i=0}^{+\infty} C_i \alpha^i + a_{e,0} \qquad (22)

Les dix premiers termes de cette série, et le terme ae,0a_{e,0}, ont pu être calculés numériquement avec précision. La mesure de aea_e et l’inversion de l’équation précédente a pu conduire à la valeur de α\alpha donnée par l’Éq. (3).

L’accord entre ces deux mesures de α\alpha est à l’heure actuelle l’un des tests les plus robustes du Modèle Standard.

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¹ Le rapport du moment magnétique et du moment cinétique d’un électron est appelé “facteur de Landé”, noté glg_l. L’équation de Dirac, qui décrit les particules relativistes de spin 1/2, prédit que le facteur de Landé est égal à 2 pour l’électron. Expérimentalement, le facteur de Landé gl,expg_{l,\mathrm{exp}} mesuré est légèrement différent de 2 (sa valeur expérimentale est très proche de 2,00232{,}0023). Le moment magnétique anomal de l’électron est défini comme : ae=(gl,exp−2)/2a_e = (g_{l,\mathrm{exp}} - 2)/2.

Оригинал в Архива: PC_2023.pdf