X-ENS 2024, Приемен изпит, математика и физика — Задача 3. Interprétation quantique du rayonnement électromagnétique

III.A Effet photoélectrique

Observé pour la première fois en 1887 par Heinrich HERTZ, l’effet photoélectrique désigne la capacité d’un rayonnement électromagnétique à arracher les électrons libres (électrons de conduction) d’un matériau conducteur. Ces électrons peuvent être collectés au sein d’un circuit électrique, ce qui permet de mesurer un courant en présence du rayonnement : on parle de photo-courant.

Afin de tester la théorie d’EINSTEIN, Robert Andrews MILLIKAN réalise en 1914 une expérience d’effet photoélectrique, qui s’avérera concluante et permettra même de déterminer la valeur de la constante $h$. Le principe de l’expérience est le suivant : au sein d’une chambre à vide, il place une cathode métallique en lithium reliée à une anode au moyen d’un générateur de tension continue $u$, et d’un ampère-mètre mesurant le courant $i$ dans le circuit, figure 4 (a). Un faisceau monochromatique issu d’une lampe à vapeur de mercure éclaire la cathode, sa longueur d’onde $\lambda$ pouvant être réglée sur l’une des raies spectrales émises par la vapeur : 313 nm, 365 nm, 405 nm, 435 nm et 546 nm. La puissance lumineuse $P$ du faisceau est également réglable.

Pour toutes les longueurs d’onde exceptée $\lambda = 546$ nm, MILLIKAN mesure un photo-courant $i > 0$ lorsqu’aucune tension n’est appliquée. En faisant varier $u$ pour ces longueurs d’onde, il effectue les observations expérimentales suivantes :

i) Augmenter la tension $u$ provoque l’augmentation du courant $i$, jusqu’à une valeur de saturation $I_{\mathrm{sat}}$. À l’inverse, $i$ s’annule si on réduit $u$ jusqu’à une valeur négative $-U_0$ appelée potentiel d’arrêt. La courbe $i = f(u)$ ainsi obtenue présente l’allure schématisée figure 4 (b).

ii) Le potentiel d’arrêt $U_0$ ne dépend que de la fréquence $\nu$.

iii) Le courant de saturation $I_{\mathrm{sat}}$ augmente avec la puissance lumineuse $P$.

22. L’énergie nécessaire pour arracher un électron de conduction dans le lithium vaut $W_0 = 2{,}4\ \mathrm{eV}$. Montrer en quoi l’hypothèse corpusculaire d’EINSTEIN permet d’expliquer qu’aucun photo-courant n’est mesuré pour $\lambda = 546$ nm. On donne $hc \simeq 1{,}2\ \mathrm{eV}.\mu\mathrm{m}$.

On appelle photo-électrons les électrons qui sont éjectés de la cathode par effet photoélectrique. On suppose que ces derniers sont éjectés de la cathode avec des vitesses $\overrightarrow{v}$ de même norme et de directions aléatoires.

23. Expliquer qu’en l’absence de tension $u$ appliquée, on observe tout de même un photo-courant non-nul. Comment évolue la situation lorsqu’on applique une tension $u < 0$ ? Justifier alors l’appellation « potentiel d’arrêt » donnée à la tension $U_0$.

24. En considérant que l’énergie du rayonnement incident est intégralement transmise aux électrons libres de la cathode, exprimer le potentiel d’arrêt $U_0$ en fonction de $e$, $h$, $\nu$ et du travail d’extraction $W_0$, et justifier l’observation ii).

25. La figure 4 (c) représente les mesures $U_0 = f(\nu)$ obtenues par MILLIKAN lui-même, en relevant le potentiel d’arrêt en fonction des longueurs d’onde associées aux différentes raies du mercure. À partir de ces mesures, déterminer la valeur numérique à laquelle il est parvenu pour la constante de PLANCK $h$, et estimer l’incertitude $\Delta h$ associée.

26. Justifier que le courant $i$ augmente progressivement à mesure qu’on applique une tension $u > 0$ croissante et expliquer la limitation du courant à une valeur de saturation, notée $I_{\mathrm{sat}}$.

27. On appelle rendement quantique $\eta$ la probabilité qu’un photo-électron soit émis lorsqu’un photon frappe la cathode. Exprimer $I_{\mathrm{sat}}$ en fonction de $\eta$ et justifier l’observation iii). Reproduire l’allure de la courbe (b), figure 4, pour différentes valeurs de la puissance lumineuse $P$ à fréquence $\nu$ fixée, et proposer alors une méthode qui permettrait de déterminer $\eta$ pour la cathode en lithium utilisée ici.

III.B Statistiques d’émission de photons

Dans cette section, on s’intéresse à la distribution de probabilité $\mathcal{P}_n$ qui caractérise le nombre $n$ de photons émis par une source lumineuse pendant une durée $\tau$ donnée. Deux types de sources sont étudiés : une source thermique et une source laser.

III.B.a Source de rayonnement thermique

Nous avons vu dans la section II.C que le spectre d’un corps noir porté à température $T$ non nulle est formé d’une superposition de modes de différentes fréquences. Dans toute la suite, on admettra que le nombre $n$ de photons émis à la fréquence $\nu$ pendant une durée $\tau$ suit une statistique de BOSE-EINSTEIN similaire à celle trouvée en question 19 pour le nombre de photons contenus dans le mode électromagnétique $\nu$. Ainsi la probabilité $\mathcal{P}_n$ qu’une source thermique émette $n$ photons à la fréquence $\nu$ pendant la durée $\tau$ s’écrit

où $\overline{n}$ désigne le nombre de photons émis en moyenne sur une durée $\tau$.

28. Pour caractériser les fluctuations du nombre de photons autour de la valeur moyenne $\overline{n}$, on utilise l’écart-type $\Delta n$ (défini dans le formulaire). Déterminer $\Delta n$ en fonction de $\overline{n}$.

29. Représenter l’allure de la probabilité $\mathcal{P}_n$ en fonction de $n$, en faisant apparaître qualitativement la moyenne $\overline{n}$ et l’écart-type $\Delta n$ sur le graphique.

III.B.b Source laser

On considère maintenant une source laser monochromatique de fréquence $\nu$, et de puissance constante $P$. En raison de la nature corpusculaire du rayonnement, le nombre $n$ de photons émis pendant une durée $\tau$ donnée est susceptible de fluctuer autour de sa valeur moyenne $\overline{n}$. On définit le flux de photons $\Phi$ comme le nombre moyen de photons émis par unité de temps :

30. Exprimer le flux $\Phi$ en fonction de la puissance incidente $P$. Évaluer numériquement $\Phi$ pour une source laser de puissance $P = 1$ mW et de longueur d’onde $\lambda = 400$ nm. En déduire une valeur numérique de la durée qui sépare l’émission de deux photons en moyenne pour une telle source.

De même que précédemment pour une source de rayonnement thermique, on souhaite maintenant déterminer la probabilité $\mathcal{P}_n$ que $n$ photons soient émis par le laser pendant une durée $\tau$, choisie suffisamment grande de sorte que le nombre de photons moyen $\overline{n} = \Phi\tau$ soit un entier naturel bien défini.

31. En supposant que les photons sont émis indépendamment les uns des autres, et en négligeant les émissions multiples dans un intervalle de temps élémentaire $\delta\tau = \tau/N$ (avec $N$ le nombre de subdivisions de la durée $\tau$ et $N \gg \overline{n}$), justifier que la probabilité $\mathcal{P}_n$ suit une loi binomiale dont l’expression est donnée par

On précisera la signification physique de $p$. Exprimer $p$ à l’aide du formulaire sachant que cette loi doit conduire à un nombre moyen $\overline{n}$ de photons émis.

33. En utilisant le formulaire, donner également l’expression de l’écart-type $\Delta n$ dans la limite $N \gg \overline{n}$. Comparer au cas d’une source de rayonnement thermique (cf. question 28) et interpréter en termes de stabilité de la source.

À partir de l’équivalent de Stirling $\ln N! \underset{N\to+\infty}{\sim} N\ln N - N$, on peut montrer que

34. En développant $(1-p)^{N-n}$ dans la limite $N \to +\infty$, et en utilisant le résultat (12), montrer que la statistique d’émission de la source laser tend vers une distribution de POISSON, caractérisée par sa seule valeur moyenne $\overline{n}$ :

On admet que pour des nombres moyens de photons $\overline{n} > 5$, la loi de POISSON peut correctement être approchée par une loi normale, dont la représentation graphique est une gaussienne d’écart-type $\Delta n = \sqrt{\overline{n}}$ centrée sur la moyenne $\overline{n}$.

35. Sur le même graphique, représenter l’allure des lois de probabilité $\mathcal{P}_n$ d’un mode thermique et d’une source laser de même fréquence $\nu$ telles que $\overline{n} = 10$.

III.C Détection de photons et caractérisation expérimentale d’une source

Pour mettre en évidence expérimentalement la statistique d’émission d’une source de lumière, il est nécessaire de pouvoir détecter des photons uniques. Pour cela, on utilise des détecteurs qui fonctionnent sur le principe de l’effet photoélectrique étudié à la section III.A et qui permettent la conversion d’un photon en photo-électron. La collecte des photo-électrons produits permet d’accéder à la statistique d’émission des photons incidents. Nous étudions dans la suite le fonctionnement de l’un de ces détecteurs : le photomultiplicateur, et nous l’utiliserons pour caractériser expérimentalement la statistique d’émission de sources laser et thermique.

III.C.a Fonctionnement d’un photomultiplicateur

Un photomultiplicateur est un détecteur de lumière très sensible, capable de détecter des photons uniques. Il est constitué d’un tube à vide à l’intérieur duquel se trouve une cathode portée au potentiel nul, et une anode collectrice sous haute tension. La cathode et l’anode sont séparées par une série d’électrodes intermédiaires appelées dynodes. Elles sont portées à des potentiels croissants grâce à un générateur de tension continue $U_0$ (à ne pas confondre avec le potentiel d’arrêt de la partie III.A) et un circuit diviseur de tension. Deux dynodes adjacentes étant séparées par une tension $\Delta U = U_0/k$ où $k$ est le nombre de dynodes.

Sous l’effet d’un flux lumineux, des photo-électrons sont susceptibles d’être arrachés à la cathode par effet photoélectrique. Ils sont alors accélérés vers la première dynode, et provoquent en la frappant l’éjection de nouveaux électrons. Le processus se reproduit en avalanche jusqu’à ce que l’anode en sortie collecte un nombre macroscopique d’électrons. Le courant anodique total $I$ est finalement récolté sous forme d’une tension $u$ sur une résistance de charge $R_c = 1\ \mathrm{k\Omega}$. L’observation du signal $u(t)$ à l’oscilloscope présente une série de pics aléatoires correspondant chacun à la détection d’un photon. Chaque pic présente une largeur typique de 20 ns correspondant au temps de réponse du photomultiplicateur. Le schéma du principe de fonctionnement du photomultiplicateur et les signaux observés sont représentés sur la figure 5.

36. On suppose que lorsqu’un électron frappe une dynode, deux nouveaux électrons sont éjectés. Estimer numériquement la hauteur $u_{\mathrm{max}}$ d’un pic de tension occasionné par l’arrivée d’un photon, pour un photomultiplicateur contenant $k = 20$ dynodes. On donne $2^{20} \simeq 10^6$.

37. Le circuit diviseur de tension est composé de $k$ résistances identiques $R$ en série. Sachant que l’alimentation haute tension délivre une puissance continue de 2 W, déterminer la valeur de $R$ pour assurer une différence de potentiel $\Delta U = 100$ V entre deux dynodes successives. Estimer l’énergie cinétique que cela permet de communiquer aux électrons secondaires avant leur impact sur une dynode. Comparer cette énergie au travail d’extraction d’une dynode en phosphure de gallium : $W_{\mathrm{GaP}} = 2{,}2$ eV.

38. On définit $\varGamma$ le taux de comptage en sortie du photomultiplicateur comme le nombre moyen de photons détectés par unité de temps, exprimé en Hz. Donner $\varGamma$ en fonction de la puissance incidente $P$, du rendement quantique $\eta$ (défini à la question 27) et de l’énergie d’un photon de fréquence $\nu$.

39. En exploitant la courbe de réponse spectrale $\dfrac{\varGamma}{P} = f(\lambda)$ représentée sur la figure 6, estimer numériquement $\eta$ pour un rayonnement incident de longueur d’onde 400 nm, et pour le modèle de photomultiplicateur n°110.

40. Au regard du signal correspondant à la détection d’un photon unique, expliquer pourquoi le domaine de linéarité du photomultiplicateur est limité par son temps de réponse fini. Estimer alors le taux de comptage maximum au-delà duquel la réponse du photomultiplicateur n’est plus linéaire. Comparer aux spécifications de la figure 6. En déduire la puissance lumineuse maximale $P_{\mathrm{max}}$ qui ne doit pas être dépassée pour demeurer dans le régime linéaire avec un rayonnement à 400 nm. Commenter cette valeur.

III.C.b Mesure de la statistique d’émission d’un laser

Nous utilisons le photomultiplicateur précédent pour mettre en évidence la statistique poissonnienne qui caractérise une source laser (obtenue à la question 34). On utilise pour cela un laser à argon fonctionnant à 400 nm, dont la puissance est atténuée à 0,1 pW au moyen d’un filtre absorbant. Pour une fenêtre de détection de durée $\tau$, un circuit électronique permet de compter les pics de tension en sortie du photomultiplicateur et ainsi convertir la tension $u(t)$ en un compte de photons $n$.

41. Calculer numériquement le compte moyen $\overline{n}$ et l’écart-type $\Delta n$ auxquels on s’attend pour une fenêtre de détection de durée $\tau = 0{,}1\ \mathrm{s}$ sachant que le rendement quantique du photomultiplicateur vaut 25%.

On définit le rapport signal-sur-bruit ($SNR$ pour signal-to-noise ratio) par le rapport des comptes moyens de photons sur l’amplitude typique des fluctuations :

42. Proposer un protocole permettant de déterminer si le laser à argon présente bien une statistique d’émission poissonnienne.

III.C.c Mesure de la statistique d’émission d’une source thermique

On cherche ici à mettre en évidence de façon expérimentale la statistique de BOSE-EINSTEIN, définie par l’équation (9), qui caractérise l’émission de photons par une source de rayonnement thermique. On considère pour cela le rayonnement issu d’une lampe à filament de tungstène, pouvant être assimilée à un corps noir dont le maximum d’émission se situe dans l’infrarouge $\lambda_0 = 1\ \mu\mathrm{m}$. La largeur spectrale pouvant être détectée par le photomultiplicateur vaut typiquement $\Delta\lambda = 300$ nm.

43. Exprimer le temps de cohérence $\tau_c$ de la lumière émise par la lampe, en fonction de ses caractéristiques spectrales. L’estimer numériquement.

44. En admettant que le temps de cohérence d’une source polychromatique correspond au temps caractéristique de ses variations d’intensité, expliquer pourquoi il est très difficile de mettre en évidence les grandes fluctuations du nombre de photons prévues par la statistique de BOSE-EINSTEIN pour une telle lampe.

45. L’expression de l’écart-type $\Delta n$ trouvée pour une source thermique à la question 28 suppose un rayonnement monochromatique. On peut montrer que pour une superposition de $N_m$ modes de fréquences différentes, l’écart-type devient

Justifier que pour un rayonnement thermique ayant un spectre large, la distribution de BOSE-EINSTEIN initialement prévue tend vers une distribution de POISSON. Proposer un lien entre ce résultat et le constat réalisé à la question précédente (44). Comment pourrait-on obtenir une source de lumière qui présente une statistique de BOSE-EINSTEIN aux temps de détection accessibles expérimentalement ?