X-ENS 2024, Приемен изпит, физика и химия — Задача 2. Acoustique géométrique.

ÉCOLE POLYTECHNIQUE – ESPCI · ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES · CONCOURS D’ADMISSION 2024 · FILIÈRE PC – Épreuve n° 5 · PHYSIQUE B (XEULS) · 17 април 2024 г.

Consigne

L’utilisation de calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

Propagation d’une onde acoustique dans un milieu non homogène

Nous nous proposons d’étudier la propagation d’une onde acoustique dans un milieu non homogène en adoptant une approche directement inspirée de l’optique géométrique.

Cette étude comprend deux parties. La première est consacrée à l’analyse des hypothèses sur lesquelles repose l’acoustique linéaire. La seconde s’attache à caractériser la trajectoire suivie par un rayon acoustique dans un milieu inhomogène. Ces deux parties sont, dans une large mesure, indépendantes.

➞ Les applications numériques seront effectuées avec la précision qu’un calcul à la main permet aisément, et sans excéder deux chiffres significatifs. Les ordres de grandeur seront donnés avec un seul chiffre significatif.

➞ Les réponses aux questions relevant de considérations qualitatives devront être argumentées.

➞ Les références des questions abordées devront être indiquées de façon claire.

Условие

Dans cette partie nous nous plaçons dans la limite linéaire et supposons que l’évolution du milieu propagatif induite par l’onde acoustique est réversible et adiabatique. Par ailleurs, nous ne prenons pas en compte l’accélération de la pesanteur dans les équations mettant en relation les champs dynamiques (introduits dans le texte précédant la question (3)). La célérité des ondes acoustiques dans le milieu considéré est notée $c$.

Nous supposons disposer d’un émetteur permettant de générer une onde acoustique collimatée (c’est-à-dire qu’elle n’est pas divergente, ni convergente) et d’extension transverse limitée. Par analogie avec l’optique géométrique, cette onde sera appelée faisceau acoustique. Dans un milieu homogène, un tel faisceau est un ensemble de rayons acoustiques parallèles. Nous considérons qu’il peut être représenté par une onde plane monochromatique d’extension transverse limitée. Les surfaces isophases, ou plans d’onde, sont alors des plans perpendiculaires à la direction de propagation (définie par le vecteur d’onde).

◦ Définition du cadre de l’acoustique géométrique.

Dans le cas d’une propagation dans un milieu non homogène, dans la mesure où la longueur caractéristique de variation des propriétés du milieu reste très grande comparativement à la longueur d’onde, nous admettons que la structure de l’onde reste plane, localement. Son vecteur d’onde $\vec k(\mathrm{M}) = k(\mathrm{M})\,\vec u_k(\mathrm{M})$ ($\|\vec u_k\| = 1$) dépend alors du point M de l’espace et vérifie une relation de dispersion locale prenant la forme suivante :

La pulsation $\omega$ est une constante positive fixée. $c(\mathrm{M})$ désigne la célérité du son, fonction des caractéristiques du milieu au point M.

Dans ces conditions, accéder à l’expression des grandeurs associées à la propagation d’une onde acoustique devient difficile. L’approche géométrique$^{1}$, dont nous allons établir le principe, offre un accès plus immédiat à la trajectoire d’un rayon acoustique.

$^{1}$ Il faut toutefois retenir que cette approche est développée dans un cadre qui restreint sa portée (comparativement à celle de l’acoustique ondulatoire).

14. Dans le cas où le milieu est de l’air, établir que le carré $c^2$ est proportionnel à la température $T$ de ce milieu. On exprimera la constante de proportionnalité en fonction de la constante des gaz parfaits $R$, de la masse molaire $M$ du gaz et de son indice adiabatique (ou coefficient de Laplace) $\gamma$.

Indiquer quels sont les éléments à considérer pour accéder à la valeur de $\gamma$, dans le cas d’un gaz. Déterminer alors cette valeur dans le cas de l’air dans le voisinage des conditions normales de température et de pression.

• Traversée, par une onde sonore harmonique, d’une interface entre deux milieux.

Nous considérons deux milieux (1) et (2), supposés homogènes, en contact par l’intermédiaire d’une interface plane (immatérielle). Nous notons $c_1$ ($c_1 > 0$) et $c_2$ ($c_2 > 0$) les célérités du son dans les milieux respectifs (1) et (2). Un faisceau acoustique ($\omega, \vec k_1$) se propage dans le milieu (1) en direction du milieu (2). Il est réfracté par l’interface qui en donne le faisceau ($\omega, \vec k_2$) dans le milieu (2). La figure (1) illustre cette situation.

Les rayons passant par les points O et A de l’interface $(\mathrm{O},x,y)$ délimitent l’extension transversale du faisceau. Celui passant par le point I de l’interface est un rayon quelconque de ce faisceau. Nous admettons que les vecteurs d’onde $\vec k_1$ et $\vec k_2$ se situent dans le plan $(\mathrm{O},z,x)$ (tous les rayons représentés se situent donc dans le plan de la figure).

15. En traduisant l’hypothèse que l’onde dans le milieu (2) reste une onde plane, établir que les angles $\theta_1$ et $\theta_2$ sont liés par la relation suivante :

16. Commenter la relation (4).

• Propagation en milieu stratifié.

Nous considérons que le milieu propagatif est de l’air et que sa température varie (de façon monotone) avec l’altitude, soit $T_0 = T_0(z)$. Nous souhaitons déterminer la trajectoire d’un faisceau acoustique qui s’y propage. Ce faisceau sera représenté par l’un de ses rayons. Ce rayon est choisi passant par l’origine du repère $\mathcal{R}(\mathrm{O},z,x)$ et caractérisé par son vecteur d’onde $\vec k(\mathrm{O})$, appartenant au plan $(\mathrm{O},z,x)$ et associé à la pulsation $\omega$.

• Dans une première étape, nous supposons que ce milieu se présente comme une superposition de $N$ couches horizontales, de même épaisseur $e$, la température étant uniforme dans chacune d’elles. Nous notons $c_n = c(T_n)$ ($n \in \{1, N\}$) la célérité du son dans la couche $n$. Dans la couche (1), le rayon est orienté par le vecteur d’onde $\vec k_1 = \vec k(\mathrm{O})$ ($\theta_1 \in\, ]0, \pi/2[$). La figure (2) illustre cette situation.

17. Indiquer à quelle condition, portant sur l’épaisseur $e$ des couches, cette étude entre dans le cadre de l’acoustique géométrique. Dans la suite, nous supposerons cette condition satisfaite.

18. Représenter, sur la base d’une argumentation, l’allure de la trajectoire du rayon acoustique de vecteur d’onde $\vec k_1 = \vec k(\mathrm{O})$. On envisagera le cas où $T_{n+1} > T_n$ et celui où $T_{n+1} < T_n$ (pour tout $n$). Le nombre de couches n’est pas limité.

19. Écrire la relation permettant de déterminer $\theta_n$, pour tout $n$ accessible par le rayon considéré, connaissant $\theta_1$.

• Nous supposons à présent que la température de l’air varie continûment avec l’altitude $z$ (de façon monotone). Nous notons $c(z)$ la célérité du son à l’altitude $z$ et définissons un indice acoustique par le rapport $n(z) = 1/c(z)$ (cette grandeur possède une dimension).

Nous nous intéressons au rayon acoustique ayant pour vecteur d’onde $\vec k_0 = \vec k(\mathrm{O})$ à l’origine du repère $\mathcal{R}(\mathrm{O},z,x)$ ($\theta_0 \neq 0\ [\pi]$). Nous notons $n_0 = n(z = 0)$. Il s’agit de déterminer la trajectoire de ce rayon que nous caractériserons par son équation cartésienne $Z = Z(x)$. Cette situation est illustrée sur la figure (3) ($\vec k_0$ joue le rôle que jouait $\vec k_1$ dans la situation décrite par la figure (2)).

20. Indiquer à quelle condition, portant sur la pulsation $\omega$ et la fonction $c = c(z)$, cette étude entre dans le cadre de l’acoustique géométrique. Dans la suite, nous supposerons cette condition satisfaite.

21. Établir que l’équation différentielle vérifiée par la fonction $Z = Z(x)$ prend la forme suivante :

où $A$ est une constante que l’on exprimera en fonction des paramètres $n_0$ et $\theta_0$.

• Nous supposons que la dépendance spatiale de la température de l’air peut s’exprimer, sur le domaine d’étude considéré, par le développement suivant, restreint au premier ordre vis-à-vis du produit $\alpha z$ :

22. Dans le cadre de cette approximation, déterminer la solution $Z = Z(x)$ de l’équation différentielle (5).

23. Établir que l’équation cartésienne de la trajectoire peut s’écrire sous la forme suivante :

On donnera l’expression de chacune des constantes $B(\theta_0)$ ($B < 0$) et $C(\theta_0)$.

❐ Par la suite, nous supposerons que $\alpha > 0$.

24. Étudier la famille de fonctions $W = W(X)$ afin de caractériser le réseau de trajectoires, dans le cas où $\theta_0 \in\, ]0, \pi/2]$. Représenter l’allure de quelques trajectoires.

25. Nous supposons qu’un émetteur acoustique très directionnel est placé à l’origine du repère $\mathcal{R}(\mathrm{O},z,x)$. Sa direction d’émission est fixée par l’angle $\theta_0$ ($\theta_0 \neq 0\,[\pi]$). Les tracés effectués en réponse à la question (24) font apparaître deux domaines : un (désigné par $\mathcal{D}_1$) dont chacun des points peut être atteint par l’onde sonore émise (pour une orientation $\theta_0$ adaptée), un autre (désigné par $\mathcal{D}_0$) dont tous les points restent hors d’atteinte (quelle que soit la valeur de $\theta_0$). Déterminer l’équation cartésienne $W_{\mathrm{f}} = W_{\mathrm{f}}(X)$ de la frontière délimitant ces deux domaines.

❐ Indication : On recherchera à quelle condition un point M du plan $\mathcal{R}(\mathrm{O},\alpha z,\alpha x)$ peut se situer sur la trajectoire $W = W(X)$ d’un rayon acoustique. Par ailleurs, on adoptera, comme seul paramètre de l’équation cartésienne $W = W(X)$ de la trajectoire, $u_0 = 1/\tan\theta_0$.

Représenter cette frontière sur le réseau de trajectoires tracé en réponse à la question (24).

26. Nous supposons que la source sonore placée à l’origine du repère $\mathcal{R}(\mathrm{O},z,x)$ émet des rayons acoustiques, simultanément dans toutes les directions. Avec l’appui des tracés effectués en réponse à la question (24), indiquer comment est perçue acoustiquement cette source depuis un point du domaine $\mathcal{D}_1$.

27. Indiquer quelle analogie peut suggérer l’équation (7) (ou les trajectoires qui la représentent).

• Les résultats généraux établis pour un gaz restent applicables à un liquide. Nous nous intéressons ici à la propagation de rayons acoustiques en milieu océanique. La célérité des ondes sonores y varie selon la profondeur $z'$ ($z' = -z$), sous l’effet des variations de température, de pression et de salinité.

28. Un sonar (sound navigation and ranging) est un dispositif acoustique permettant de localiser (distance et situation) des objets réflecteurs. Un sonar dit actif émet (mode émission) des rayons acoustiques dans un certain intervalle de directions puis détecte (mode réception ou d’écoute) l’écho renvoyé par les obstacles rencontrés. Sur la base du réseau de trajectoires tracé en réponse à la question (24), indiquer quels problèmes posent cette technique de localisation dans un milieu stratifié.

• La célérité du son en milieu océanique ne varie pas de façon monotone avec la profondeur $z'$ ($z' = -z$). La figure (4) présente l’aspect de son profil $c = c(z')$ dans l’océan Atlantique nord.

29. Le sonar, situé sous un bateau de pêche, permet de localiser les bancs de poissons. Le profil de célérité représenté sur la figure (4) permet-il aux rayons acoustiques émis de se propager au-delà du chenal de surface ? On s’appuiera, en particulier, sur l’étude conduite en réponse à la question (24) afin d’estimer la “portée” maximale en profondeur d’un rayon acoustique, correspondant à une valeur donnée du coefficient $\alpha$ (introduit dans l’équation (6)).

30. Sans effectuer de calcul, représenter l’allure des rayons acoustiques émis par un sous-marin (bruit) situé à une profondeur $z' = 500\ \mathrm{m}$. On supposera que le sous-marin émet dans toutes les directions.

31. Indiquer quel est l’analogue de cette situation en optique.

32. Préciser quel avantage procure à un sous-marin de se placer à la profondeur $z' = 500\ \mathrm{m}$.

Решение

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Оригинал в Архива: PC_2024.pdf