X-ENS 2025, Приемен изпит, математика и физика — Задача 2. Instabilité d’ondulation d’une couche de cristal liquide

1 Étude du comportement mécanique d’une structure élancée soumise à une compression.

• Nous considérons une structure mécanique modèle formée de quatre ressorts identiques (1), (2), (3) et (4), d’axes parallèles, chacun de raideur $K$ et de longueur sans charge $L_0$. Leurs extrémités inférieures sont fixées aux angles d’une plaque carrée de coté $2a$, supposée indéformable. Leurs extrémités supérieures sont fixées, de la même manière, à une autre plaque, identique à la première. Cette structure, dans sa situation non déformée, que nous adoptons comme référence et qui définit l’origine des énergies, est représentée sur la figure (1).

• Un opérateur extérieur impose un déplacement strictement vertical du centre B de la plaque supérieure par rapport à celui de la plaque inférieure (que nous supposons fixe). Ce déplacement amène le point B au point B′ tel que $\overrightarrow{\mathrm{BB'}} = -\Delta\,\vec{e}_x$ où $\Delta \geq 0$.

En réponse à cette sollicitation, la structure peut simplement se comprimer, en conservant sa géométrie initiale, ou bien fléchir. Ces deux situations sont illustrées sur la figure (2), respectivement en (b) et (c). La situation (a) est celle de référence pour laquelle la structure n’est pas déformée. Les flèches pointant les centres des plaques inférieure et supérieure représentent les éléments extérieurs agissant sur la structure et permettant d’imposer le déplacement $\Delta$. Celui du bas est fixe et celui du haut est guidé en translation selon l’axe (O$x$) (la liaison entre ces éléments et les plaques serait, en pratique, réalisée par une liaison rotule).

• Nous nous proposons de déterminer la configuration adoptée par la structure en réponse à un déplacement $\Delta$ imposé. L’action de la pesanteur n’est pas prise en compte dans cette étude.

1. Exprimer, en fonction de $K$ et $\Delta$, l’énergie potentielle élastique $E_{\mathrm{C}}$ emmagasinée par la structure dans la situation de compression (b).

• Dans la situation (c), nous considérons, d’une part que les arcs $(\mathrm{A}_1''\mathrm{B}_1'')$, $(\mathrm{AB}'')$ et $(\mathrm{A}_2''\mathrm{B}_2'')$ sont des arcs de cercle, d’autre part que l’arc $(\mathrm{AB}'')$ conserve sa longueur initiale $L_0$. Nous notons $R = \|\overrightarrow{\mathrm{QP''}}\|$ et $\theta$ ($\theta \geq 0$) l’ouverture angulaire $(\overrightarrow{\mathrm{QB''}},\overrightarrow{\mathrm{QA}})$. Tous les résultats seront établis sous les deux hypothèses $\Delta \ll L_0 \ll R$.

2. Exprimer $\theta$ et le rapport $R/L_0$ en fonction du rapport $\varepsilon = \Delta/L_0$.

3. Déduire de ces résultats la condition, portant sur $\varepsilon$, assurant que les deux hypothèses $\Delta \ll L_0 \ll R$ se trouvent simultanément vérifiées.

4. Exprimer, en fonction de $K$, $L_0$, $a$ et $\Delta$, l’énergie potentielle élastique $E_{\mathrm{F}}$ emmagasinée par la structure dans la situation de flexion (c).

5. Représenter, dans un système d’axes commun, l’allure graphique de la dépendance de chacune des énergies $E_{\mathrm{C}}$ et $E_{\mathrm{F}}$ vis-à-vis de $\varepsilon$. Commenter brièvement ces tracés.

6. Nous notons $N$ le module de la force que l’opérateur extérieur doit fournir pour imposer le déplacement $\Delta$ souhaité. Sur la base des tracés effectués en réponse à la question (5), établir l’expression, en fonction de $K$, $L_0$ et $a$, du module de la force-seuil $N_{\mathrm{s}}$ au-delà duquel la structure fléchit.

Nous notons $\Delta_{\mathrm{s}}$ le déplacement correspondant à la force-seuil $N_{\mathrm{s}}$ et $\varepsilon_{\mathrm{s}} = \Delta_{\mathrm{s}}/L_0$.

7. Représenter l’allure graphique de la dépendance de $N$ vis-à-vis de $\varepsilon$. On précisera la valeur prise par $N$ pour $\varepsilon > \varepsilon_{\mathrm{s}}$, dans le cadre du modèle de flexion adopté. Commenter brièvement ce résultat.

8. Traduire, sur le rapport $a/L_0$, la condition de respect des hypothèses $\Delta \ll L_0 \ll R$ établie en réponse à la question (3). Commenter ce résultat.

9. Application : La raideur $k$ (axiale) d’une tige homogène rectiligne, de section uniforme $S$ et de longueur $\ell$, est reliée au module d’élasticité longitudinale (ou module de Young) $Y$ du matériau la constituant selon la relation suivante :

Nous considérons une barre homogène de section carrée d’aire $2b \times 2b$, de longueur $L_0$ et de module d’élasticité longitudinale $Y$. Établir une expression de l’effort-seuil $N_{\mathrm{s}}$ en fonction de $Y$, $L_0$ et $b$. On présentera les choix faits pour adapter la structure modèle que nous avons étudiée aux caractéristiques de la barre.

Calculer la valeur de $N_{\mathrm{s}}$ pour les données suivantes : $Y = 200$ GPa (acier) ; $L_0 = 1$ m ; $2b = 1$ cm.

10. Nous avons implicitement supposé que la flexion, lorsqu’elle apparaît, se produit dans le plan $(\mathrm{O},x,y)$ (se reporter à la figure (2)-(c)). Elle pourrait se produire, a priori, dans tout plan $(\mathrm{O},x,u)$ tel que $\vec{e}_u = \cos\phi\,\vec{e}_y + \sin\phi\,\vec{e}_z$ ($\phi \in [-\pi/2,\pi/2]$).

Exprimer $N_{\mathrm{s}}$ pour $\phi = \pi/4$. Peut-on alors prévoir dans quel plan, $\phi = 0$ ou $\phi = \pi/4$ (en ne considérant que ces deux situations), la flexion de la structure modèle étudiée se produit ?

2 Étude du comportement mécanique d’un cristal liquide en phase smectique A.

• Les molécules formant le cristal liquide auquel nous nous intéressons se présentent comme des bâtonnets caractérisés par leur diamètre $D$ ($D \sim 0{,}5$ nm), leur longueur $a_0$ ($a_0 \sim 5$ nm) et la direction $\vec{n}$ de leur axe. En phase$^{2}$ smectique A, ce cristal liquide s’organise selon une stratification en couches. Une couche est formée de bâtonnets parallèles entre eux$^{3}$ et dont la direction $\vec{n}$ est normale au plan de la couche considérée (localement). Son épaisseur est égale à la longueur $a_0$ des bâtonnets. La figure (3)-(a) représente cette structure stratifiée dans son état de référence pour lequel les couches ne sont pas déformées. On associe à cet état l’origine des énergies.

Les propriétés des interactions inter-moléculaires sont telles que les couches peuvent glisser les unes sur les autres (comportement fluide). Par ailleurs, un ensemble de bâtonnets, dans une couche, manifeste un comportement élastique. L’action de la pesanteur n’est pas prise en compte dans cette étude.

• Nous choisissons un repère cartésien $\mathcal{R}(\mathrm{O},x,y,z)$ tel que le plan $(\mathrm{O},x,y)$ est parallèle au plan des couches dans l’état de référence (état sans déformation). Nous envisageons des situations telles que le déplacement des molécules s’effectue essentiellement selon l’axe (O$z$). Nous décrivons alors l’état de déformation du cristal liquide par le champ de déplacement de ses couches (que nous appellerons indifféremment champ de déformation). En supposant que ce dernier ne dépend pas de la coordonnée $x$, et en adoptant une description continue du milieu (hypothèse notée $\mathcal{H}_u$), il prend la forme suivante :

$\mathrm{M} = \mathrm{M}(x,y,z)$ représente un point d’une couche dans l’état de référence (état sans déformation). Le point M′ est son image, dans un état de déformation. Le vecteur unitaire $\vec{n}(\mathrm{M})$, orienté par l’angle $\theta$ relativement à l’axe (O$z$), définit la direction locale des bâtonnets situés dans le voisinage d’un point M d’une couche. Ce vecteur $\vec{n}(\mathrm{M})$ est donc localement normal à la couche considérée. La figure (3)-(b) précise ce paramétrage.

• Nous adoptons, comme élément de volume du cristal liquide, un domaine cubique $\mathcal{D}$ de côté $a_0$ (dans l’état de référence). Nous le modélisons, vis-à-vis de son comportement élastique, comme un cube dont les arêtes sont des ressorts de raideur $K$ et de longueur sans charge $a_0$. L’élasticité d’un tel domaine est ainsi supposée localisée au niveau de ses arêtes. Ce modèle est représenté sur la figure (4).

Il s’agira d’étudier la réponse à diverses sollicitations d’une structure élastique présentant (dans la situation non déformée de référence) la géométrie d’un cube dont les arêtes sont des ressorts de raideur $K$ et de longueur sans charge $a_0$. La figure (5) représente cette structure en perspective, dans son état de référence.

$^{2}$ Cette phase existe sur un certain intervalle de température.

$^{3}$ Nous faisons abstraction des fluctuations thermiques.

2.1 Densité volumique d’énergie élastique.

Il s’agit d’exprimer l’énergie élastique emmagasinée par unité de volume du cristal liquide, associée au champ de déplacement $u$.

11. Indiquer à quelles conditions, portant sur la fonction $u = u(y,z)$ (voire également certaines de ses dérivées) et le paramètre $a_0$, l’hypothèse $\mathcal{H}_u$ est justifiée, c’est-à-dire que le cristal liquide peut être considéré comme un milieu continu, vis-à-vis du champ de déplacement.

❐ Tous les résultats seront établis dans le cadre de l’hypothèse $\mathcal{H}_u$.

❐ Par ailleurs, dans toute la sous-section (2.1), nous nous placerons dans l’approximation linéaire. En particulier, nous supposerons que $|\partial u/\partial y| \ll 1$ et $|\partial u/\partial z| \ll 1$.

12. Nous nous plaçons dans une situation telle que la fonction $u = u(y,z)$ ne dépend pas de $y$ (état de simple extension – ou compression). Établir que l’énergie $e_{\mathrm{E}}$ alors emmagasinée, par unité de volume du cristal liquide, prend la forme suivante :

On exprimera la constante $B$ en fonction de $K$ et $a_0$.

13. Justifier que la constante $B$ ne dépend pas de la taille choisie du domaine élémentaire cubique.

• Nous considérons maintenant une situation telle que les couches sont seulement fléchies, comme la figure (6) le représente. Nous supposons que l’arc (g′f′), et les côtés (A′B′) et (D′C′), conversent leur longueur initiale $a_0$. Les arcs (D′A′) et (C′B′) sont assimilés à des arcs de cercle. Le point Q est le centre de courbure de ces arcs et de l’arc (g′f′). L’angle $\delta\theta$ est l’ouverture angulaire entre les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{C'D'}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{B'A'}}$. Le vecteur unitaire $\vec{n}(\mathrm{f'})$ indique l’orientation locale des bâtonnets situés dans le voisinage du point f′.

14. Établir que l’énergie $e_{\mathrm{F},y}$ emmagasinée par unité de volume du cristal liquide, dans cette situation de flexion, prend la forme suivante :

Exprimer la constante $F$ en fonction de la raideur $K$ et de la longueur $a_0$.

Nous posons $F = \lambda^2 B$. Exprimer$^{4}$ le rapport $\lambda/a_0$.

❐ Pour ce calcul, nous supposerons que la fonction $\partial u/\partial y$ vérifie l’hypothèse $\mathcal{H}_u$. Par ailleurs, nous rappelons que $|\partial u/\partial y| \ll 1$ (question (11)).

$^{4}$ La valeur réelle prise par ce rapport diffère un peu de celle issue de ce modèle simple.

15. Cette densité volumique d’énergie de flexion peut également s’écrire sous la forme suivante (toujours dans le cadre des hypothèses adoptées) :

Cette écriture suggère qu’il faut considérer, parallèlement, la densité volumique d’énergie de flexion suivante :

Décrire, à l’appui d’un dessin, le type de déformation associé à cette énergie.

• En conclusion, dans le cadre des hypothèses adoptées jusqu’ici, l’énergie élastique totale $e$ emmagasinée, par unité de volume du cristal liquide soumis au champ de déplacement $u$, prend la forme suivante :

2.2 Ondulation des couches induite par une extension de l’épaisseur d’un film.

• Un film de cristal liquide en phase smectique A est déposé entre deux surfaces rigides, planes et parallèles. Ce film est constitué d’un grand nombre de couches (se reporter au texte introductif de la section (2)). Dans la situation de référence, les couches ne sont pas déformées et sont parallèles aux surfaces. Depuis cette situation, on augmente légèrement (mais brutalement) la distance séparant les surfaces et l’on observe l’état de déformation des couches immédiatement après cette opération$^{5}$.

• Nous notons $d_0$ ($d_0 \sim 0{,}1\ \mathrm{mm} \gg a_0$)$^{6}$ la distance séparant les surfaces dans la situation de référence, et $d = d_0 + \delta$ ($0 \leq \delta \ll d_0$) celle correspondant à un déplacement $\delta$ de la surface supérieure (la surface inférieure est supposée fixe). Nous considérons que le film reste toujours en contact avec les surfaces et, par ailleurs, que le nombre de couches le formant demeure constant. Comparativement à $d_0$, le film apparaît comme étant infini selon les directions (O$x$) et (O$y$). Cette situation est illustrée sur la figure (7)-(a).

• La figure (7)-(b) fait apparaître l’épaisseur apparente M′N′ d’une couche et son épaisseur réelle $a$, correspondant à la déformation locale, depuis l’état de référence, $(\mathrm{M},\mathrm{N}) \to (\mathrm{M'},\mathrm{N'})$.

$^{5}$ On observerait, ensuite, une phase de relaxation des contraintes faisant apparaître des défauts topologiques tendant à augmenter, de façon désordonnée, le nombre de couches.

$^{6}$ Au-delà d’une épaisseur de 0,1 mm ($\sim 10^4$ couches !), il devient très délicat de former un film sans défaut.

16. Nous souhaitons prendre en compte, dans l’expression de $e_{\mathrm{E}}$, l’effet d’une éventuelle inclinaison (locale) des couches. Dans cette situation, l’épaisseur réelle $a$ d’une couche n’est plus assimilable à son épaisseur apparente M′N′. Établir que le terme (1) de l’équation (7) doit alors être remplacé par le terme (1′) suivant, à l’ordre correctif le plus bas :

❐ Pour l’étude qui va suivre, nous admettons que c’est la seule correction déterminante à prendre en compte. En conséquence, le terme (2) de l’équation (7) n’est pas modifié. Par ailleurs, l’énergie volumique $e$ désignera maintenant celle corrigée de l’effet d’inclinaison des couches.

• Nous cherchons à approcher la forme du champ de déformation $u = u(y,z)$ en superposant, au champ linéaire $u_0(z) = \alpha z$ où $\alpha = \delta/d_0$ (extension relative), un développement perturbatif que nous limitons à un unique terme. Nous écrivons alors le champ $u$ sous la forme suivante :

Il s’agit de déterminer à quelle condition l’écartement des surfaces (par conséquent, l’augmentation de l’épaisseur du film) fait effectivement apparaître une ondulation des couches formant le film. Dans ce cas, le champ de déformation est tel que $A_n \neq 0$.

17. Dans le cas où $A_n \neq 0$, déterminer la valeur de $\phi_n$ et caractériser l’ensemble des nombres d’onde $k_n$ possibles.

❐ Dès à présent, nous choisissons le nombre d’onde ayant la plus petite valeur. Nous notons $k$ (sans indice) ce nombre d’onde et $A$ (sans indice) l’amplitude qui lui est associée.

Dans ces conditions, représenter la forme prise par quelques couches réparties sur l’intervalle $[0,d]$.

• Pour le champ de déformation $u$ adopté, l’énergie volumique moyenne (spatialement) $\langle e\rangle$ d’un domaine de film parallélépipédique de longueurs $L_x$ (arbitraire), $L_y = 2\pi/q$ et $L_z = d_0$, prend la forme suivante :

Rappelons que $q$ représente le nombre d’onde du champ de déplacement relatif à la direction (O$y$) et $k$ celui relatif à la direction (O$z$) (se reporter à l’équation (9)).

18. Représenter l’allure graphique de la dépendance de l’énergie moyenne $\langle e\rangle$ vis-à-vis de l’amplitude $A$, dans le cas où $S > 0$ puis dans celui où $S < 0$. On utilisera un système d’axes commun.

19. À la lumière de ces tracés, définir le critère qui détermine l’existence d’une ondulation des couches. Établir alors l’expression, en fonction de $\lambda$ et $k$, du seuil d’extension relative $\alpha_{\mathrm{s}}$ au-delà duquel une ondulation des couches apparaît. En déduire l’expression, en fonction de $\lambda$ et $k$, du nombre d’onde $q_{\mathrm{s}}$ sélectionné lorsque $\alpha$ tend vers $\alpha_{\mathrm{s}}$, par valeur supérieure ($\alpha \to \alpha_{\mathrm{s}}^+$). En se reportant à la caractérisation de $k$ établie en réponse à la question (17), exprimer finalement $q_{\mathrm{s}}^2$ en fonction de $\lambda$ et $d_0$.

20. Pour $d_0 \sim 0{,}1$ mm et $\lambda \sim a_0 \sim 5$ nm, nous obtenons les valeurs suivantes :

$k \sim 3\times 10^4\ \mathrm{m}^{-1}$ ; $\alpha_{\mathrm{s}} \sim 3\times 10^{-4}$ ; $q_{\mathrm{s}} \sim 2\times 10^6\ \mathrm{m}^{-1}$.

Vérifier que ces résultats justifient les hypothèses adoptées, en particulier l’hypothèse $\mathcal{H}_u$ (se reporter à la question (11)).

21. Nous posons $\varepsilon = \alpha - \alpha_{\mathrm{s}}$ tel que $0 \leq \varepsilon/\alpha_{\mathrm{s}} \ll 1$. En présentant le raisonnement conduit, exprimer l’amplitude $A$ de l’ondulation des couches en fonction de l’écart au seuil $\varepsilon$ et du nombre d’onde au seuil $q_{\mathrm{s}}$.

22. La figure (8) présente la dépendance de $q_{\mathrm{s}}^2$ vis-à-vis de $1/d_0$, obtenue expérimentalement (cristal liquide cyanobenzilidène octyloxyaniline, ou CBOOA, à $T = 78\,{}^{\circ}\mathrm{C}$). Vérifier que ces données confirment l’un des résultats obtenus en réponse à la question (19). En extraire une estimation du paramètre $\lambda$. La situer par rapport à celle prédite par le modèle que nous avons adopté (se reporter à la question (14)).