X-ENS 2025, Приемен изпит, физика и химия — Задача 2. I – Production de l’impulsion lumineuse

Focalisation d’une impulsion laser

2. On utilise un laser de longueur d’onde $\lambda = 800\ \mathrm{nm}$. Dans quel domaine du spectre électromagnétique se trouve-t-il ?

3. Calculer numériquement la période $T$ de l’onde émise par le laser, et le rang minimum des harmoniques de période inférieure à $T_e$.

Détaillons maintenant la méthode permettant de fabriquer ces harmoniques, qui consiste à focaliser une impulsion laser de très haute intensité sur de l’argon. On modélise le champ du laser comme un faisceau gaussien se propageant dans le vide suivant une direction $z$. On rappelle les formules générales définissant le profil radial d’intensité d’un tel faisceau :

où $r$ désigne la distance à l’axe de propagation, $w_0$ le waist, $z_R$ la longueur de Rayleigh, et $I_0 = I(0,0)$ le maximum d’intensité.

4. Le faisceau incident a un waist dont la valeur numérique est $w_0 = 4\ \mathrm{mm}$. Déterminer l’ordre de grandeur de sa longueur de Rayleigh. Justifier que sur une longueur de l’ordre du mètre au voisinage de $z = 0$, le faisceau peut être considéré comme étant cylindrique.

5. On focalise ce faisceau cylindrique au moyen d’une lentille mince de focale $f = 1\ \mathrm{m}$, dont le plan est perpendiculaire à la direction de propagation $z$. L’axe de la lentille et l’axe du faisceau sont identiques. Vérifier que les conditions de l’approximation de Gauss sont satisfaites.

6. On admet que le faisceau émergent est également un faisceau gaussien. Dessiner l’allure de ce faisceau. Exprimer la largeur de son waist, qu’on notera $w_0'$, en fonction de $\lambda$, $f$ et $w_0$. Estimer la valeur numérique de $w_0'$.

7. Le laser délivre des impulsions d’énergie $\mathcal{E}_L = 1\ \mathrm{mJ}$ pendant une durée $T_L = 40\ \mathrm{fs}$. Déterminer l’ordre de grandeur littéral puis numérique de la puissance par unité de surface au foyer de la lentille, qu’on notera $P_L$.

8. Déterminer l’ordre de grandeur littéral de l’amplitude maximale $E_0$ du champ électrique de l’onde électromagnétique, qu’on exprimera en fonction de $P_L$, $c$ et de la perméabilité magnétique du vide $\mu_0$.

9. Le flux énergétique surfacique que la Terre reçoit du Soleil au-dessus de l’atmosphère est celui d’une onde plane dont l’amplitude du champ électrique vaut $700\ \mathrm{V\cdot m^{-1}}$. En déduire, par un argument de proportionnalité, l’ordre de grandeur de $E_0$, défini à la question précédente.

10. On note $I_P$ l’énergie d’ionisation de l’atome d’argon ($I_P > 0$). On rappelle que les énergies d’ionisation des atomes sont de l’ordre de $10\ \mathrm{eV}$. Rappeler l’ordre de grandeur de la taille d’un atome. En déduire, par un argument dimensionnel, l’ordre de grandeur du champ électrique vu par un électron périphérique. Comment se compare-t-il au champ $E_0$ ?

Mouvement d’un électron dans le champ du laser et génération d’harmoniques

11. On assimile pour simplifier l’atome d’argon à un atome d’hydrogène, comme à la question 1. Lorsque l’atome est éclairé par le laser, l’électron voit le champ électrique du noyau et celui du laser. Pour étudier son mouvement dans la superposition de ces deux champs, nous considérons un modèle classique à une dimension, où l’électron se déplace sur un axe $Ox$, $O$ étant la position du noyau, et $x$ la direction du champ électrique du laser, $\vec{E} = -E_0\vec{e}_x$, où l’amplitude $E_0 > 0$ est supposée uniforme et constante. Exprimer l’énergie potentielle de l’électron, de charge $-e$, en fonction de $q^2$, $eE_0$ et $x$, et tracer l’allure de sa variation en fonction de $x$.

12. L’électron est dans un état d’énergie mécanique $-I_P$. Montrer que si $E_0$ dépasse une valeur dite de “saturation” et notée $E_{\mathrm{sat}}$, l’électron échappe à l’attraction du noyau et part à l’infini. Exprimer $E_{\mathrm{sat}}$ en fonction de $I_P$, $q^2$ et $e$.

13. Nommer l’effet quantique qui permet à l’électron de s’échapper, selon une certaine probabilité, même si $E_0 < E_{\mathrm{sat}}$.

14. On reprend le modèle unidimensionnel de la question 11, mais avec un champ extérieur qui varie au cours du temps selon $\vec{E}(t) = -E_0\sin\omega t\,\vec{e}_x$. Écrire l’équation du mouvement de l’électron dans la superposition des deux champs, sous la forme d’une équation différentielle pour $x(t)$. On écrira séparément deux équations différentielles suivant que $x(t) > 0$ ou $x(t) < 0$.

15. On s’intéresse au mouvement forcé, défini comme une solution $x(t)$ de cette équation qui soit périodique, et de même période $T = 2\pi/\omega$ que le champ électrique. Sans chercher à déterminer $x(t)$, justifier succinctement que cette solution vérifie aussi $x(t+\frac{T}{2}) = -x(t)$.

16. Dans la décomposition de $x(t)$ en série de Fourier, quelles sont les harmoniques compatibles avec cette condition ?

17. On s’intéresse aux trajectoires pour lesquelles l’électron s’échappe de l’atome. On reprend l’équation du mouvement déterminée à la question 14, dans laquelle on néglige désormais le champ du noyau. Déterminer la solution générale de cette équation.

18. Calculer l’énergie cinétique moyenne de l’électron, notée $U_P$, en régime sinusoïdal forcé où $x(t)$ est périodique. On exprimera $U_P$ en fonction de $eE_0$, $m$ et $\omega$.

19. Intégrer l’équation du mouvement de la question 17 pour un électron partant de l’origine sans vitesse initiale à un temps $t_i$.

20. Tracer sur un même graphique l’allure de la variation de $x$ en fonction de $t/T$ pour $t_i = 0$, $t_i = T/4$ et $t_i = T/2$, pour $t/T$ variant entre $t_i/T$ et 1,5.

21. La figure 1 donne l’allure de la variation de $x(t)$ pour quatre autres valeurs de $t_i$. On remarque que pour ces valeurs, l’électron revient en $x = 0$ à un temps de retour qu’on notera $t_r$. Écrire l’équation reliant $t_r$ à $t_i$, sans chercher à la résoudre.

22. Lorsque l’électron revient au point de départ, il peut se recombiner avec le noyau. Ce modèle est connu sous le nom de “modèle en trois étapes” : l’électron est arraché de l’atome, puis fait une excursion dans le champ du laser, puis se recombine avec l’atome. L’énergie libérée dans la recombinaison est la somme de l’énergie d’ionisation, $I_P$, et de l’énergie cinétique $E_c(t_r)$ de l’électron à $t = t_r$. Cette énergie est rayonnée sous forme d’un unique photon. Exprimer la pulsation de l’onde électromagnétique correspondant à ce photon.

23. Sur la figure 1, indiquer la courbe pour laquelle l’énergie cinétique $E_c(t_r)$ est maximale. Quelle est la courbe pour laquelle elle est minimale ?

24. Exprimer $E_c(t_r)$ en fonction de $U_P$, $\omega t_i$ et $\omega t_r$.

25. La figure 2 représente la variation de $E_c(t_r)$ en fonction de $t_r/T$. Recopiez sommairement cette courbe sur votre copie et indiquez les valeurs de $t_i$ en différents points, en vous appuyant sur les résultats précédents.

26. La figure 3 représente, sur une échelle des ordonnées logarithmique, la variation de l’intensité de la lumière rayonnée lors de la recombinaison électron-noyau en fonction de la fréquence, cette dernière étant en unité de la fréquence du laser. Comment interprétez-vous l’allure de cette variation ? La condition de la question 3 est-elle vérifiée ? En utilisant le résultat de la question 22 et la figure 2, donner une expression approximative du rang maximal des harmoniques $n_{\max}$ en fonction de $U_P$, $I_P$, $\hbar$ et $\omega$.