X-ENS 2025, Приемен изпит, физика и химия — Задача 4. III – Spectromètre magnétique

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2025 — FILIERE PC - Epreuve n° 5 — PHYSIQUE B (XEULS) · 16 април 2025 г.

Consignes

MERCREDI 16 AVRIL 2025, 08h00 - 12h00

Durée : 4 heures

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve

Production et caractérisation d’impulsions laser attosecondes

On se contentera de réponses courtes, sauf lorsqu’il est demandé de justifier un résultat donné.

Les applications numériques seront données avec un seul chiffre significatif.

Les parties I, II et III peuvent être résolues de manière indépendante pour l’essentiel.

Условие

La mesure de l’énergie cinétique des électrons est réalisée par un spectromètre magnétique dont nous décrivons le principe.

36. On considère d’abord le mouvement d’un électron dans un champ magnétique $\vec{B}$ uniforme, la vitesse initiale de l’électron étant orthogonale à $\vec{B}$. Déterminer le rayon $r$ de la trajectoire en fonction de $e$, $m$, $B$, et de la vitesse, notée $v_\perp$.

37. En déduire la valeur absolue du moment cinétique $J$ de l’électron par rapport au centre de la trajectoire, qu’on exprimera en fonction de $e$, $r$ et $B$.

38. On considère maintenant le cas d’une vitesse initiale $\vec{v}$ quelconque. On note $\theta$ l’angle entre $\vec{v}$ et $\vec{B}$. Le mouvement dans un plan perpendiculaire au champ est toujours un cercle. Exprimer son rayon $r$ en fonction de $e$, $m$, $B$, $v$ et $\theta$.

Le spectromètre utilise un champ magnétique constant, non uniforme, mais possédant une symétrie de révolution. Le champ en un point $M$ est contenu dans le plan contenant l’axe $Oz$ et $M$. Cette configuration est représentée sur la figure 5. Les électrons entrent par la gauche, puis parcourent une longue distance où le champ est quasiment uniforme, et sont détectés à droite.

39. Indiquer comment varie la norme du champ magnétique de gauche à droite le long d’une ligne de champ.

40. Lorsque le champ vu par l’électron varie lentement le long de sa trajectoire, son mouvement dans le plan perpendiculaire reste approximativement circulaire, mais avec un rayon qui varie peu à peu. On admet que la variation de ce rayon est telle que le moment cinétique $J$ déterminé à la question 37 reste constant. On considère pour simplifier que le champ est uniforme sur chacune des surfaces d’entrée et de sortie du spectromètre, et on note $B_i$ et $B_f$ les normes correspondantes. Déterminer la relation entre l’inclinaison initiale $\theta_i$ et finale $\theta_f$ de la trajectoire.

41. Les électrons produits par l’effet photoélectrique ont des directions aléatoires. Le but est de recueillir tous ceux qui entrent dans le spectromètre, et d’aligner rapidement leur trajectoires avec l’axe $z$. On choisit donc des valeurs de $B_f$ et $B_i$ telles que $\theta_f$ soit petit, et on fabrique un spectromètre suffisamment long pour que la plus grande partie de la trajectoire se fasse dans un champ uniforme $B_f$. On mesure le temps séparant l’impulsion laser, qui produit les électrons, et leur détection à la sortie du spectromètre. Connaissant la longueur $L$ du spectromètre, on en déduit leur vitesse, et donc leur énergie cinétique. Du fait de l’inclinaison $\theta_f$ non nulle, la longueur parcourue par les électrons n’est pas exactement $L$. En déduire l’incertitude relative sur la vitesse en fonction du rapport $B_f/B_i$.

Решение

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Оригинал в Архива: PC_2025.pdf