X-ENS 2025, Приемен изпит, физика и химия · Юлм — Задача 1.2. Formulations intégrales de l’énergie électrostatique

ECOLES NORMALES SUPERIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2025 — FILIERE PC - Epreuve n° 7 — PHYSIQUE C (U) · 17 април 2025 г.

Consignes

JEUDI 17 AVRIL 2025 — 08h00 - 14h00

Durée : 6 heures

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve

Autour de l’énergie électromagnétique

Cette épreuve propose d’étudier l’énergie électromagnétique de distributions de charges et de courants. On essaiera notamment de déterminer l’énergie de telles distributions à partir des travaux nécessaires pour les mettre en place, et de relier les différentes formulations possibles de ces énergies. On s’interrogera également sur la signification physique de l’énergie propre de telles distributions, en lien avec les différents modèles microscopiques utilisés pour décrire ces distributions.

Le sujet est divisé en deux parties largement indépendantes l’une de l’autre, la première traitant de l’énergie de distributions de charges en électrostatique et la deuxième traitant de l’énergie de distributions de courants dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS). Ces deux parties ont cependant été pensées pour être effectuées dans l’ordre, et les candidats sont encouragés à procéder ainsi.

Tout résultat fourni dans l’énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s’il n’a pas été démontré. Dans le cas où un(e) candidat(e) repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il (elle) le signale lisiblement sur sa copie, propose la correction et poursuit l’épreuve en conséquence.

La plus grande importance doit être accordée à la qualité de la rédaction et de la présentation. Certaines questions, marquées par une étoile (*), requièrent une réflexion plus poussée de la part des candidats, sans être nécessairement plus calculatoires. Elles seront valorisées en conséquence, même si le raisonnement est inachevé. Les réponses doivent être clairement argumentées, en s’appuyant si nécessaire sur des schémas, tout en restant aussi concises que possible.

Ce sujet comporte 15 pages, numérotées de 1 à 15.

Formulaire — Analyse vectorielle et intégrales utiles

— On désigne par :

  • grad→ ϕ\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,\phi le gradient d’un champ scalaire ϕ\phi,
  • div X⃗\mathrm{div}\,\vec{X} la divergence d’un champ vecteur X⃗\vec{X},
  • rot→ X⃗\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{X} le rotationnel d’un champ vecteur X⃗\vec{X}.

— Pour ϕ\phi et X⃗\vec{X} des champs scalaire et vecteur quelconques :

  • rot→(grad→ ϕ)=0⃗\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left(\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,\phi\right) = \vec{0},
  • div(rot→ X⃗)=0\mathrm{div}\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{X}\right) = 0.

— Notant r⃗AB=r⃗B−r⃗A\vec{r}_{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A, le gradient de 1/rAB1/r_{AB} vaut :

grad→B(1rAB)=−r⃗ABrAB3en faisant varier r⃗B, donnant : d(1rAB)=grad→B(1rAB)⋅dr⃗B,(1)\overrightarrow{\mathrm{grad}}_B\left(\frac{1}{r_{AB}}\right) = -\frac{\vec{r}_{AB}}{{r_{AB}}^{3}} \quad \text{en faisant varier } \vec{r}_B\text{, donnant : } \quad \mathrm{d}\left(\frac{1}{r_{AB}}\right) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}_B\left(\frac{1}{r_{AB}}\right)\cdot\mathrm{d}\vec{r}_B, \qquad (1)
grad→A(1rAB)=r⃗ABrAB3en faisant varier r⃗A, donnant : d(1rAB)=grad→A(1rAB)⋅dr⃗A.(2)\overrightarrow{\mathrm{grad}}_A\left(\frac{1}{r_{AB}}\right) = \frac{\vec{r}_{AB}}{{r_{AB}}^{3}} \quad \text{en faisant varier } \vec{r}_A\text{, donnant : } \quad \mathrm{d}\left(\frac{1}{r_{AB}}\right) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}_A\left(\frac{1}{r_{AB}}\right)\cdot\mathrm{d}\vec{r}_A. \qquad (2)

— Pour ϕ\phi, X⃗\vec{X} et Y⃗\vec{Y} des champs scalaire et vecteurs quelconques :

div (ϕX⃗)=ϕ(div X⃗)+(grad→ ϕ)⋅X⃗.(3)\mathrm{div}\,(\phi\vec{X}) = \phi\left(\mathrm{div}\,\vec{X}\right) + (\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,\phi)\cdot\vec{X}. \qquad (3)
div (X⃗∧Y⃗)=Y⃗⋅(rot→ X⃗)−X⃗⋅(rot→ Y⃗).(4)\mathrm{div}\,(\vec{X}\wedge\vec{Y}) = \vec{Y}\cdot\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{X}\right) - \vec{X}\cdot\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{Y}\right). \qquad (4)

— Le produit mixte de trois vecteurs X⃗\vec{X}, Y⃗\vec{Y} et Z⃗\vec{Z} possède les propriétés suivantes :

(X⃗∧Y⃗)⋅Z⃗=(Z⃗∧X⃗)⋅Y⃗=−(X⃗∧Z⃗)⋅Y⃗(5)\left(\vec{X}\wedge\vec{Y}\right)\cdot\vec{Z} = \left(\vec{Z}\wedge\vec{X}\right)\cdot\vec{Y} = -\left(\vec{X}\wedge\vec{Z}\right)\cdot\vec{Y} \qquad (5)

— Dans tout le sujet, on note dτr⃗\mathrm{d}\tau_{\vec{r}} les éléments de volume dans les intégrales, où l’indice r⃗\vec{r} repère des éléments de volume dτ\mathrm{d}\tau sur lesquels l’intégration est effectuée. On repère similairement dS⃗r⃗\mathrm{d}\vec{S}_{\vec{r}} et dl⃗r⃗\mathrm{d}\vec{l}_{\vec{r}} les éléments de surface et de longueur, respectivement.

— On rappelle les formulations des intégrales sur tout l’espace en coordonnées cartésiennes (x,y,z)(x, y, z), cylindriques (r,θ,z)(r, \theta, z), et sphériques (r,θ,ϕ)(r, \theta, \phi) :

∭F(r⃗)dτr⃗=∭x,y,z=−∞x,y,z=+∞F(x,y,z) dx dy dz=∫r=0+∞∫θ=02π∫z=−∞+∞F(r,θ,z) r dr dθ dz=∫r=0+∞∫θ=0π∫ϕ=02πF(r,θ,ϕ) rsin⁡θ dr dθ dϕ.\begin{aligned}\iiint F(\vec{r})\mathrm{d}\tau_{\vec{r}} &= \iiint_{x,y,z=-\infty}^{x,y,z=+\infty} F(x, y, z)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\\ &= \int_{r=0}^{+\infty}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=-\infty}^{+\infty} F(r, \theta, z)\, r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z\\ &= \int_{r=0}^{+\infty}\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{\phi=0}^{2\pi} F(r, \theta, \phi)\, r\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi.\end{aligned}

— On a :

∭r⃗⋅(r⃗+n⃗)r3∣r⃗+n⃗∣3dτr⃗=4π,(6)\iiint \frac{\vec{r}\cdot(\vec{r} + \vec{n})}{r^3|\vec{r} + \vec{n}|^3}\mathrm{d}\tau_{\vec{r}} = 4\pi, \qquad (6)

où l’intégrale est effectuée sur tout l’espace et n⃗\vec{n} est un vecteur unitaire quelconque, et

∫0πsin⁡3θ dθ=43.(7)\int_0^{\pi}\sin^3\theta\,\mathrm{d}\theta = \frac{4}{3}. \qquad (7)
Symétries et propriétés à grande distance des champs E et B

On rappelle quelques propriétés des champs électrique E⃗(r⃗)\vec{E}(\vec{r}) et magnétique B⃗(r⃗)\vec{B}(\vec{r}) créés par des distributions de charges ρ(r⃗)\rho(\vec{r}) et de courants j⃗(r⃗)\vec{j}(\vec{r}). On note également V(r⃗)V(\vec{r}) le potentiel électrique.

— Symétries des champs par rapport aux charges et courants :

  • les plans de symétrie de ρ\rho et j⃗\vec{j} sont de symétrie pour E⃗\vec{E} et d’antisymétrie pour B⃗\vec{B},
  • les plans d’antisymétrie de ρ\rho et j⃗\vec{j} sont d’antisymétrie pour E⃗\vec{E} et de symétrie pour B⃗\vec{B}.

— Soit z=0z = 0 un plan de symétrie du champ X⃗(r⃗)\vec{X}(\vec{r}) dans un repère cartésien (x,y,z)(x, y, z), on a :

X⃗N(x,y,z)=−X⃗N(x,y,−z),\vec{X}_N(x, y, z) = -\vec{X}_N(x, y, -z),
X⃗T(x,y,z)=X⃗T(x,y,−z),\vec{X}_T(x, y, z) = \vec{X}_T(x, y, -z),

où X⃗N\vec{X}_N et X⃗T\vec{X}_T sont les composantes normale et tangentielle de X⃗\vec{X} par rapport à ce plan. Pour z=0z = 0, on a X⃗N=0⃗\vec{X}_N = \vec{0}, et X⃗(x,y,0)\vec{X}(x, y, 0) est donc contenu dans le plan de symétrie.

— Soit z=0z = 0 un plan d’antisymétrie du champ X⃗(r⃗)\vec{X}(\vec{r}) dans un repère cartésien (x,y,z)(x, y, z), on a :

X⃗N(x,y,z)=X⃗N(x,y,−z),\vec{X}_N(x, y, z) = \vec{X}_N(x, y, -z),
X⃗T(x,y,z)=−X⃗T(x,y,−z).\vec{X}_T(x, y, z) = -\vec{X}_T(x, y, -z).

où X⃗N\vec{X}_N et X⃗T\vec{X}_T sont les composantes normale et tangentielle de X⃗\vec{X} par rapport à ce plan. Pour z=0z = 0, on a X⃗T=0⃗\vec{X}_T = \vec{0}, et X⃗(x,y,0)\vec{X}(x, y, 0) est donc perpendiculaire au plan de symétrie.

— On considère les champs à grande distance de distributions finies de charges et de courants, de charge totale QQ. En électrostatique, magnétostatique, et dans l’Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires (ARQS), on a :

  • si Q≠0Q \neq 0, E⃗\vec{E} et VV décroissent respectivement en r−2r^{-2} et r−1r^{-1},
  • si Q=0Q = 0, E⃗\vec{E} et VV décroissent respectivement au moins en r−3r^{-3} et r−2r^{-2},
  • quelle que soit QQ, B⃗\vec{B} décroît au moins en r−3r^{-3}.

— Discontinuité des champs électriques et magnétiques :

  • les champs E⃗\vec{E} ne sont pas définis sur une distribution surfacique de charges,
  • les champs B⃗\vec{B} ne sont pas définis sur une distribution linéique de courants.
Constantes fondamentales

— Vitesse de la lumière c=3,0×108 m⋅s−1c = 3{,}0\times 10^{8}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}

— Constante de Planck h=6,6×10−34 J⋅sh = 6{,}6\times 10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}

— Permittivité diélectrique du vide ε0=8,9×10−12 F⋅m−1\varepsilon_0 = 8{,}9\times 10^{-12}\ \mathrm{F\cdot m^{-1}}

— Perméabilité magnétique du vide μ0=1,3×10−6 T⋅m⋅A−1\mu_0 = 1{,}3\times 10^{-6}\ \mathrm{T\cdot m\cdot A^{-1}}

— Masse de l’électron me=9,1×10−31 kgm_e = 9{,}1\times 10^{-31}\ \mathrm{kg}

— Charge élémentaire e=1,6×10−19 Ce = 1{,}6\times 10^{-19}\ \mathrm{C}

On rappelle que μ0ϵ0c2=1\mu_0\epsilon_0 c^2 = 1.

Условие

Pour un système SρS_\rho composé d’une distribution continue de charges ρ(r⃗)\rho(\vec{r}), on propose la formulation intégrale suivante de l’énergie électrostatique propre :

Uρ=12∭ρ(r⃗)Vρ(r⃗) dτr⃗,(11)U_\rho = \frac{1}{2}\iiint \rho(\vec{r})V_\rho(\vec{r})\,\mathrm{d}\tau_{\vec{r}}, \qquad (11)

où Vρ(r⃗)V_\rho(\vec{r}) est le potentiel créé en r⃗\vec{r} par la distribution SρS_\rho. Cette intégrale s’étend sur le support de la distribution de ρ\rho, mais peut être de façon équivalente considérée sur tout l’espace.

6 Pour un système SρS_\rho composé de deux sous-systèmes SραS_\rho^{\alpha} et SρβS_\rho^{\beta}, de distributions de charges ρα(r⃗)\rho_\alpha(\vec{r}) et ρβ(r⃗)\rho_\beta(\vec{r}), et créant respectivement des potentiels Vα(r⃗)V_\alpha(\vec{r}) et Vβ(r⃗)V_\beta(\vec{r}), décomposer l’énergie électrostatique UρU_\rho du système SρS_\rho en l’énergie propre UραU_\rho^{\alpha} et UρβU_\rho^{\beta} de chaque sous-système et l’énergie d’interaction Uρα↔βU_\rho^{\alpha\leftrightarrow\beta} entre les deux sous-systèmes.

Dans la suite, on admettra que l’énergie d’interaction électrostatique entre deux systèmes SραS_\rho^{\alpha} et SρβS_\rho^{\beta} peut aussi s’écrire :

Uρα↔β=∭ρα(r⃗)Vβ(r⃗) dτr⃗=∭ρβ(r⃗)Vα(r⃗) dτr⃗.(12)U_\rho^{\alpha\leftrightarrow\beta} = \iiint \rho_\alpha(\vec{r})V_\beta(\vec{r})\,\mathrm{d}\tau_{\vec{r}} = \iiint \rho_\beta(\vec{r})V_\alpha(\vec{r})\,\mathrm{d}\tau_{\vec{r}}. \qquad (12)

L’égalité entre ces termes est parfois appelé le théorème de réciprocité en électrostatique.

7 Voyez-vous une différence entre les formulations UqU_q et Uqα↔βU_q^{\alpha\leftrightarrow\beta} obtenues pour des systèmes de charges ponctuelles, et celles UρU_\rho et Uρα↔βU_\rho^{\alpha\leftrightarrow\beta} obtenues pour des distributions continues de charges ?

8 Déterminer et commenter les modifications de UρU_\rho et Uρα↔βU_\rho^{\alpha\leftrightarrow\beta} si le potentiel électrostatique est redéfini à une constante ΔV\Delta V près. On pourra introduire les charges totales QQ, QαQ_\alpha et QβQ_\beta contenues dans les systèmes SρS_\rho, SραS_\rho^{\alpha} et SρβS_\rho^{\beta}.

9 À partir de l’équation (11), que l’on écrira comme une intégrale sur tout l’espace, montrer que l’on peut écrire l’énergie électrostatique de tout système SρS_\rho d’extension spatiale finie sous la forme

Ues=∭12ε0E⃗2(r⃗) dτr⃗,(13)U_{\mathrm{es}} = \iiint \frac{1}{2}\varepsilon_0\vec{E}^2(\vec{r})\,\mathrm{d}\tau_{\vec{r}}, \qquad (13)

où E⃗(r⃗)\vec{E}(\vec{r}) est le champ électrostatique créé par ce système, et où l’intégrale est prise sur tout l’espace.

10 Commenter le signe de cette énergie. Comment expliquer la différence avec le résultat obtenu pour des charges ponctuelles ? Le signe de cette énergie permet-il d’avoir une interaction attractive entre systèmes électrostatiques ?

11 Calculer l’énergie électrostatique UesU_{\mathrm{es}} d’un système composé d’une unique charge ponctuelle qq. Commenter sur la possibilité d’utiliser les formulations des équations (11) et (13) pour décrire un système de charges ponctuelles.

12 On considère un système de deux charges ponctuelles q1q_1 et q2q_2 aux positions r⃗1\vec{r}_1 et r⃗2\vec{r}_2 par rapport à une origine OO. En utilisant l’équation (13), décomposer l’énergie électrostatique totale UesU_{\mathrm{es}} de ce système de charges en des termes d’énergie propre et d’énergie d’interaction. Calculer la ou les intégrales non-divergentes, pour obtenir un résultat que l’on mettra sous la forme la plus simple possible, et qui dépendra de q1q_1, q2q_2, ε0\varepsilon_0 et r12=∣r⃗2−r⃗1∣r_{12} = |\vec{r}_2 - \vec{r}_1|. Commenter.

Решение

Внимание: Непълно решение

L’archive ne contient pas de corrigé officiel pour cette épreuve.

Оригинал в Архива: PC_2025_ulm.pdf