X-ENS 2025, Приемен изпит, физика и химия · Юлм — Задача 2.3. Énergie d’un ensemble de circuits filiformes

ECOLES NORMALES SUPERIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2025 — FILIERE PC - Epreuve n° 7 — PHYSIQUE C (U) · 17 април 2025 г.

Consignes

JEUDI 17 AVRIL 2025 — 08h00 - 14h00

Durée : 6 heures

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve

Autour de l’énergie électromagnétique

Cette épreuve propose d’étudier l’énergie électromagnétique de distributions de charges et de courants. On essaiera notamment de déterminer l’énergie de telles distributions à partir des travaux nécessaires pour les mettre en place, et de relier les différentes formulations possibles de ces énergies. On s’interrogera également sur la signification physique de l’énergie propre de telles distributions, en lien avec les différents modèles microscopiques utilisés pour décrire ces distributions.

Le sujet est divisé en deux parties largement indépendantes l’une de l’autre, la première traitant de l’énergie de distributions de charges en électrostatique et la deuxième traitant de l’énergie de distributions de courants dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS). Ces deux parties ont cependant été pensées pour être effectuées dans l’ordre, et les candidats sont encouragés à procéder ainsi.

Tout résultat fourni dans l’énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s’il n’a pas été démontré. Dans le cas où un(e) candidat(e) repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il (elle) le signale lisiblement sur sa copie, propose la correction et poursuit l’épreuve en conséquence.

La plus grande importance doit être accordée à la qualité de la rédaction et de la présentation. Certaines questions, marquées par une étoile (*), requièrent une réflexion plus poussée de la part des candidats, sans être nécessairement plus calculatoires. Elles seront valorisées en conséquence, même si le raisonnement est inachevé. Les réponses doivent être clairement argumentées, en s’appuyant si nécessaire sur des schémas, tout en restant aussi concises que possible.

Ce sujet comporte 15 pages, numérotées de 1 à 15.

Formulaire — Analyse vectorielle et intégrales utiles

— On désigne par :

  • grad→ ϕ\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,\phi le gradient d’un champ scalaire ϕ\phi,
  • div X⃗\mathrm{div}\,\vec{X} la divergence d’un champ vecteur X⃗\vec{X},
  • rot→ X⃗\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{X} le rotationnel d’un champ vecteur X⃗\vec{X}.

— Pour ϕ\phi et X⃗\vec{X} des champs scalaire et vecteur quelconques :

  • rot→(grad→ ϕ)=0⃗\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left(\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,\phi\right) = \vec{0},
  • div(rot→ X⃗)=0\mathrm{div}\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{X}\right) = 0.

— Notant r⃗AB=r⃗B−r⃗A\vec{r}_{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A, le gradient de 1/rAB1/r_{AB} vaut :

grad→B(1rAB)=−r⃗ABrAB3en faisant varier r⃗B, donnant : d(1rAB)=grad→B(1rAB)⋅dr⃗B,(1)\overrightarrow{\mathrm{grad}}_B\left(\frac{1}{r_{AB}}\right) = -\frac{\vec{r}_{AB}}{{r_{AB}}^{3}} \quad \text{en faisant varier } \vec{r}_B\text{, donnant : } \quad \mathrm{d}\left(\frac{1}{r_{AB}}\right) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}_B\left(\frac{1}{r_{AB}}\right)\cdot\mathrm{d}\vec{r}_B, \qquad (1)
grad→A(1rAB)=r⃗ABrAB3en faisant varier r⃗A, donnant : d(1rAB)=grad→A(1rAB)⋅dr⃗A.(2)\overrightarrow{\mathrm{grad}}_A\left(\frac{1}{r_{AB}}\right) = \frac{\vec{r}_{AB}}{{r_{AB}}^{3}} \quad \text{en faisant varier } \vec{r}_A\text{, donnant : } \quad \mathrm{d}\left(\frac{1}{r_{AB}}\right) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}_A\left(\frac{1}{r_{AB}}\right)\cdot\mathrm{d}\vec{r}_A. \qquad (2)

— Pour ϕ\phi, X⃗\vec{X} et Y⃗\vec{Y} des champs scalaire et vecteurs quelconques :

div (ϕX⃗)=ϕ(div X⃗)+(grad→ ϕ)⋅X⃗.(3)\mathrm{div}\,(\phi\vec{X}) = \phi\left(\mathrm{div}\,\vec{X}\right) + (\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,\phi)\cdot\vec{X}. \qquad (3)
div (X⃗∧Y⃗)=Y⃗⋅(rot→ X⃗)−X⃗⋅(rot→ Y⃗).(4)\mathrm{div}\,(\vec{X}\wedge\vec{Y}) = \vec{Y}\cdot\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{X}\right) - \vec{X}\cdot\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{Y}\right). \qquad (4)

— Le produit mixte de trois vecteurs X⃗\vec{X}, Y⃗\vec{Y} et Z⃗\vec{Z} possède les propriétés suivantes :

(X⃗∧Y⃗)⋅Z⃗=(Z⃗∧X⃗)⋅Y⃗=−(X⃗∧Z⃗)⋅Y⃗(5)\left(\vec{X}\wedge\vec{Y}\right)\cdot\vec{Z} = \left(\vec{Z}\wedge\vec{X}\right)\cdot\vec{Y} = -\left(\vec{X}\wedge\vec{Z}\right)\cdot\vec{Y} \qquad (5)

— Dans tout le sujet, on note dτr⃗\mathrm{d}\tau_{\vec{r}} les éléments de volume dans les intégrales, où l’indice r⃗\vec{r} repère des éléments de volume dτ\mathrm{d}\tau sur lesquels l’intégration est effectuée. On repère similairement dS⃗r⃗\mathrm{d}\vec{S}_{\vec{r}} et dl⃗r⃗\mathrm{d}\vec{l}_{\vec{r}} les éléments de surface et de longueur, respectivement.

— On rappelle les formulations des intégrales sur tout l’espace en coordonnées cartésiennes (x,y,z)(x, y, z), cylindriques (r,θ,z)(r, \theta, z), et sphériques (r,θ,ϕ)(r, \theta, \phi) :

∭F(r⃗)dτr⃗=∭x,y,z=−∞x,y,z=+∞F(x,y,z) dx dy dz=∫r=0+∞∫θ=02π∫z=−∞+∞F(r,θ,z) r dr dθ dz=∫r=0+∞∫θ=0π∫ϕ=02πF(r,θ,ϕ) rsin⁡θ dr dθ dϕ.\begin{aligned}\iiint F(\vec{r})\mathrm{d}\tau_{\vec{r}} &= \iiint_{x,y,z=-\infty}^{x,y,z=+\infty} F(x, y, z)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\\ &= \int_{r=0}^{+\infty}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=-\infty}^{+\infty} F(r, \theta, z)\, r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z\\ &= \int_{r=0}^{+\infty}\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{\phi=0}^{2\pi} F(r, \theta, \phi)\, r\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi.\end{aligned}

— On a :

∭r⃗⋅(r⃗+n⃗)r3∣r⃗+n⃗∣3dτr⃗=4π,(6)\iiint \frac{\vec{r}\cdot(\vec{r} + \vec{n})}{r^3|\vec{r} + \vec{n}|^3}\mathrm{d}\tau_{\vec{r}} = 4\pi, \qquad (6)

où l’intégrale est effectuée sur tout l’espace et n⃗\vec{n} est un vecteur unitaire quelconque, et

∫0πsin⁡3θ dθ=43.(7)\int_0^{\pi}\sin^3\theta\,\mathrm{d}\theta = \frac{4}{3}. \qquad (7)
Symétries et propriétés à grande distance des champs E et B

On rappelle quelques propriétés des champs électrique E⃗(r⃗)\vec{E}(\vec{r}) et magnétique B⃗(r⃗)\vec{B}(\vec{r}) créés par des distributions de charges ρ(r⃗)\rho(\vec{r}) et de courants j⃗(r⃗)\vec{j}(\vec{r}). On note également V(r⃗)V(\vec{r}) le potentiel électrique.

— Symétries des champs par rapport aux charges et courants :

  • les plans de symétrie de ρ\rho et j⃗\vec{j} sont de symétrie pour E⃗\vec{E} et d’antisymétrie pour B⃗\vec{B},
  • les plans d’antisymétrie de ρ\rho et j⃗\vec{j} sont d’antisymétrie pour E⃗\vec{E} et de symétrie pour B⃗\vec{B}.

— Soit z=0z = 0 un plan de symétrie du champ X⃗(r⃗)\vec{X}(\vec{r}) dans un repère cartésien (x,y,z)(x, y, z), on a :

X⃗N(x,y,z)=−X⃗N(x,y,−z),\vec{X}_N(x, y, z) = -\vec{X}_N(x, y, -z),
X⃗T(x,y,z)=X⃗T(x,y,−z),\vec{X}_T(x, y, z) = \vec{X}_T(x, y, -z),

où X⃗N\vec{X}_N et X⃗T\vec{X}_T sont les composantes normale et tangentielle de X⃗\vec{X} par rapport à ce plan. Pour z=0z = 0, on a X⃗N=0⃗\vec{X}_N = \vec{0}, et X⃗(x,y,0)\vec{X}(x, y, 0) est donc contenu dans le plan de symétrie.

— Soit z=0z = 0 un plan d’antisymétrie du champ X⃗(r⃗)\vec{X}(\vec{r}) dans un repère cartésien (x,y,z)(x, y, z), on a :

X⃗N(x,y,z)=X⃗N(x,y,−z),\vec{X}_N(x, y, z) = \vec{X}_N(x, y, -z),
X⃗T(x,y,z)=−X⃗T(x,y,−z).\vec{X}_T(x, y, z) = -\vec{X}_T(x, y, -z).

où X⃗N\vec{X}_N et X⃗T\vec{X}_T sont les composantes normale et tangentielle de X⃗\vec{X} par rapport à ce plan. Pour z=0z = 0, on a X⃗T=0⃗\vec{X}_T = \vec{0}, et X⃗(x,y,0)\vec{X}(x, y, 0) est donc perpendiculaire au plan de symétrie.

— On considère les champs à grande distance de distributions finies de charges et de courants, de charge totale QQ. En électrostatique, magnétostatique, et dans l’Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires (ARQS), on a :

  • si Q≠0Q \neq 0, E⃗\vec{E} et VV décroissent respectivement en r−2r^{-2} et r−1r^{-1},
  • si Q=0Q = 0, E⃗\vec{E} et VV décroissent respectivement au moins en r−3r^{-3} et r−2r^{-2},
  • quelle que soit QQ, B⃗\vec{B} décroît au moins en r−3r^{-3}.

— Discontinuité des champs électriques et magnétiques :

  • les champs E⃗\vec{E} ne sont pas définis sur une distribution surfacique de charges,
  • les champs B⃗\vec{B} ne sont pas définis sur une distribution linéique de courants.
Constantes fondamentales

— Vitesse de la lumière c=3,0×108 m⋅s−1c = 3{,}0\times 10^{8}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}

— Constante de Planck h=6,6×10−34 J⋅sh = 6{,}6\times 10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}

— Permittivité diélectrique du vide ε0=8,9×10−12 F⋅m−1\varepsilon_0 = 8{,}9\times 10^{-12}\ \mathrm{F\cdot m^{-1}}

— Perméabilité magnétique du vide μ0=1,3×10−6 T⋅m⋅A−1\mu_0 = 1{,}3\times 10^{-6}\ \mathrm{T\cdot m\cdot A^{-1}}

— Masse de l’électron me=9,1×10−31 kgm_e = 9{,}1\times 10^{-31}\ \mathrm{kg}

— Charge élémentaire e=1,6×10−19 Ce = 1{,}6\times 10^{-19}\ \mathrm{C}

On rappelle que μ0ϵ0c2=1\mu_0\epsilon_0 c^2 = 1.

Условие

On considère à présent un ensemble de circuits filiformes fermés CaC_a, modélisés par des contours orientés Γa\Gamma_a parcourus par des courants IaI_a. On veut exprimer l’énergie magnétique de ce système à partir des courants parcourant ces circuits, et de leurs flux magnétiques. Le flux magnétique Φa\Phi_a à travers un circuit CaC_a est défini sur une surface Σa\Sigma_a reposant sur le contour Γa\Gamma_a, non-nécessairement plane, et d’orientation compatible avec celle de Γa\Gamma_a :

Φa=∬ΣaB⃗(r⃗)⋅dS⃗r⃗,(28)\Phi_a = \iint_{\Sigma_a}\vec{B}(\vec{r})\cdot\mathrm{d}\vec{S}_{\vec{r}}, \qquad (28)

où B⃗(r⃗)\vec{B}(\vec{r}) est le champ magnétique total. On définit similairement le flux magnétique créé par un circuit au travers d’un autre :

Φa→b=∬ΣbB⃗a(r⃗)⋅dS⃗r⃗,(29)\Phi_{a\to b} = \iint_{\Sigma_b}\vec{B}_a(\vec{r})\cdot\mathrm{d}\vec{S}_{\vec{r}}, \qquad (29)

où B⃗a\vec{B}_a désigne le champ magnétique créé par le circuit CaC_a. On souligne que Φa→a\Phi_{a\to a} ne correspond pas forcément à Φa\Phi_a.

47 Montrer que le flux magnétique Φa\Phi_a à travers le circuit CaC_a ne dépend pas de la surface Σa\Sigma_a choisie, tant que celle-ci repose sur Γa\Gamma_a et est d’orientation compatible avec celle de Γa\Gamma_a.

Pour tout champ magnétique B⃗\vec{B}, on peut définir des tubes de champ, dont les surfaces latérales sont en tout point tangentes aux lignes de champ magnétique. On définit un tube de champ élémentaire comme un tube de champ de section suffisamment petite pour que le champ magnétique B⃗\vec{B} dans toute coupe transverse puisse être considéré comme uniforme. Par la suite, on note tαt_\alpha ces tubes de champ élémentaires, que l’on décrit par leur élément de longueur dl⃗α(r⃗)d\vec{l}_\alpha(\vec{r}) et de surface transverse ds⃗α(r⃗)d\vec{s}_\alpha(\vec{r}) (voir Figure 2). Dans ces tubes de champ élémentaires, les vecteurs B⃗(r⃗)\vec{B}(\vec{r}), dl⃗α(r⃗)d\vec{l}_\alpha(\vec{r}) et ds⃗α(r⃗)d\vec{s}_\alpha(\vec{r}) sont colinéaires et de même sens, et le volume d’un élément de tube de champ de longueur dl⃗αd\vec{l}_\alpha est dτr⃗=dl⃗α(r⃗)⋅ds⃗α(r⃗)d\tau_{\vec{r}} = d\vec{l}_\alpha(\vec{r})\cdot d\vec{s}_\alpha(\vec{r}). On note que le champ B⃗(r⃗)\vec{B}(\vec{r}) ainsi que les éléments dl⃗α(r⃗)d\vec{l}_\alpha(\vec{r}) et ds⃗α(r⃗)d\vec{s}_\alpha(\vec{r}) peuvent varier le long des tubes de champ élémentaires.

Tube de champ grisé, légèrement courbé, fermé à gauche par une section circulaire et à droite par une section elliptique (partie cachée en pointillés). Sur chaque section, une flèche marquée ds⃗α ; le long des bords du tube, quatre flèches marquées dl⃗α.
Figure 2 – Tube de champ magnétique élémentaire.

48 Montrer que le flux magnétique transverse est conservé le long d’un tube de champ.

49 Justifier que les tubes de champ sont soit refermés sur eux-mêmes, soit vont à l’infini.

Par la suite, on considérera que l’on peut négliger la contribution des tubes qui vont à l’infini.

50 Montrer que les tubes de champ qui se referment sur eux-mêmes entourent forcément des branches de circuits dans lesquelles circulent des courants.

51* On considère un unique circuit filiforme fermé CaC_a. En décomposant tout l’espace où le champ magnétique B⃗a\vec{B}_a est non-nul en tubes de champ élémentaires, montrer à partir de la formulation donnée équation (27) que l’énergie magnétique propre de ce circuit s’écrit :

UCa=β1 IaΦa→a,(30)U_C^a = \beta_1\, I_a\Phi_{a\to a}, \qquad (30)

avec β1\beta_1 un facteur numérique à déterminer. On expliquera avec soin, en s’aidant si possible de schémas, les différentes étapes du raisonnement effectué.

52* Par un raisonnement similaire, obtenir la forme de l’énergie magnétique d’interaction UCa↔bU_C^{a\leftrightarrow b} entre les circuits CaC_a et CbC_b, que l’on exprimera en fonction de IbI_b et Φa→b\Phi_{a\to b}. On supposera pour simplifier la démonstration que l’on travaille avec des circuits simples non-bobinés, et que les lignes de champ de B⃗a\vec{B}_a et B⃗b\vec{B}_b ne passent au maximum qu’une seule fois à travers ces deux circuits. On effectuera également la décomposition de B⃗a\vec{B}_a et B⃗b\vec{B}_b en tubes de champ élémentaires qui ont tous le même flux transverse dϕ\mathrm{d}\phi. Sous quelle condition cette énergie d’interaction est-elle maximale ?

53 En déduire que l’énergie magnétique totale d’un système de circuits CaC_a parcourus par des courants IaI_a s’écrit

UC=β2∑a,bIaΦb→a,(31)U_C = \beta_2\sum_{a,b} I_a\Phi_{b\to a}, \qquad (31)

avec β2\beta_2 un facteur numérique à déterminer, et où la somme inclut les cas où a=ba = b. Formuler le théorème de réciprocité en magnétostatique.

54 Préciser si les énergies magnétiques propre et d’interaction entre circuits changent de signe si le courant d’un des circuits en jeu change de signe. Quels signes peuvent avoir chacune de ces énergies ? Ces résultats étaient-ils attendus pour l’énergie d’interaction entre circuits magnétiques ?

55 On reprend l’exemple A2 décrit dans la section 2.1. Effectuer à nouveau le calcul de l’énergie magnétique de la configuration finale, mais en utilisant cette fois le flux de la spire sur le solénoïde.

On étudie à présent un dernier exemple, nommé A3, où l’on prend en compte la longueur finie du solénoïde, et où l’on l’étudie la translation, à courants constants, de la spire précédente sur l’axe du solénoïde. La spire reste orientée parallèlement au plan (x,y)(x, y), mais se déplace du milieu du solénoïde (z=L/2z = L/2) à son extrémité (z=0z = 0), tout en restant centrée sur l’axe de symétrie du solénoïde. On suppose par ailleurs que le solénoïde est suffisamment long pour que :

a) le champ d’un solénoïde infini y règne à z=L/2z = L/2,

b) le flux du champ créé par la spire à travers les extrémités du solénoïde est négligeable lorsque la spire est située en z=L/2z = L/2.

56* Par un raisonnement physique ne demandant pas de développements calculatoires poussés, mais pouvant reposer sur des schémas, calculer le travail quasi-statique nécessaire pour effectuer le déplacement de l’exemple A3.

Решение

Внимание: Непълно решение

L’archive ne contient pas de corrigé officiel pour cette épreuve.

Оригинал в Архива: PC_2025_ulm.pdf