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Балкански 1998, Теория — Задача 1. Problème I

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Concours Général de Physique Minko Balkanski 1998

Бележка от източника

La clarté et la précision de la rédaction, qui doit être obligatoirement en français, seront prises en compte dans la note finale.

La durée de la composition est de 4 heures.

Условие

L’énergie potentielle d’une masse ponctuelle $m$ soumise au champs de gravitation d’une planète sphérique de rayon $R$ et de masse $M$ est donnée par $E=-\frac{GMm}{r}$ , où $G$ désigne la constante de gravitation et $r$ est la distance de la masse au centre de la planète.

1. Quelle est la dimension de $G$ ?

2. Un objet quittant la surface de la planète avec une vitesse $v$ s’éloigne à l’infini si $v$ est supérieure ou égale à une vitesse critique $v_l$ qui s’appelle par définition la vitesse de libération. Montrer, à partir du théorème de conservation de l’énergie mécanique que $v_l=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$ .

3. Vérifiez que dans cette formule les dimensions sont correctes.

4. Quel doit être le rayon de la planète pour que cette vitesse soit égale à la vitesse de la lumière $c$ ?

5. La vitesse de libération sur la Terre est de $10km/s$ et son rayon est de $6400km$ . Calculer le rayon d’un astre pour lequel $v_l=c$ et dont la masse est égale à celle de la terre. On prendra $c=300000km/s$ .

6. Sachant que la masse volumique de la terre est de $5500kg/m^3$ , en déduire la masse volumique de cet astre. Commentez. Un astre pour lequel $v_l=c$ s’appelle un trou noir. Pourriez-vous expliquer pourquoi?

7. La densité des trous noirs diminue lorsque leur masse augmente. Expliquez ce paradoxe.

Отговори

Решение

Notons $[A]$ l’homogénéité de la grandeur $A$ . Alors: $[E]=\frac{[G][M][m]}{[r]}=\frac{[G]kg^2}{m}=J=kgm^2s^{-2}$ d’où :

[G]=kg^{-1}m^3s^{-2}.

La conservation de l’énergie s’écrit : $-\frac{GMm}{r}+\frac{mv^2}{2}=cste$ ; écrivons là en $r=R$ et $r=\infty$ : $cste=-\frac{GMm}{r}+\frac{mV^2}{2}=0+\frac{mV_\infty^2}{2}$ . Il faut alors $cste\geq0$ , d’où

V\geq\sqrt{\frac{2GM}{R}}=v_l.

On a: $\frac{[G][M]}{[R]}=\frac{kg^{-1}m^3s^{-2}kg}{m}=\frac{m^2}{s^2}$ .
Avec $v_l=c$ on obtient immédiatement : $R_c=\frac{2GM}{c^2}$ .
On a : $c=\sqrt{\frac{2GM}{R_c}}$ , $v_l=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$ , d’où $\frac{v_l}{c}=\sqrt{\frac{R_c}{R}}$ soit $R_c=R(\frac{v_l}{c})^2$ . A.N.: $R_c=7.1mm$ !
Avec $\rho_{Terre}=\frac{M}{\frac43\pi R^3}$ et $\rho_{Astre}=\frac{M}{\frac43\pi R_c^3}$ on obtient: $\rho_{Astre}=\rho_{Terre}(\frac{R}{R_c})^3$ . A.N.: $\rho_{Astre}=4.0\times10^{30}kgm^{-3}\gg\rho_{Terre}$ ! D’après la relativité restreinte la vitesse d’un objet physique ne peut pas dépasser la vitesse de la lumière dans le vide $c$ . Si $v_l=c$ plus aucun corps ne peut s’échapper de l’astre, même la lumière; d’où l’appellation “Trou noir”.
On a : $R_c\sim M$ et $\rho\sim\frac{M}{R_c^3}\sim\frac{1}{M^2}$ , donc $\rho$ diminue quand $M$ augmente.

Теми и трудност

Оценена трудност: 4/5.

Механика · Гравитация · Работа и енергия

Предпоставки: Гимназиална подготовка

Оригинал в Архива: CGP_1998.pdf · официални решения: CGP_1998_cr.pdf