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Балкански 1998, Теория — Задача 2. Problème II

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Concours Général de Physique Minko Balkanski 1998

Бележка от източника

La clarté et la précision de la rédaction, qui doit être obligatoirement en français, seront prises en compte dans la note finale.

La durée de la composition est de 4 heures.

Условие

Deux sphères de même rayon et de même masse $m$ portent la même charge positive $q$ . Une des deux sphères est fixe en $O$ , l’autre se déplace sans frottement sur l’axe vertical $Oz$ . Sa position est repérée par sa hauteur $z$ au dessus de $O$ .

Deux sphères chargées +q sur l’axe vertical z, celle du bas fixée à z=0 et celle du haut mobile près de M₀. — fig.1

1.a. Déterminez la position d’équilibre $M_0$ , définie par $z_0$ de la sphère mobile.

1.b. En termes de forces, qu’appelle-t-on équilibre stable? équilibre instable? Quel est le type de l’équilibre de la sphère mobile?

1.c. Calculez numériquement $z_0$ . On donne $m=0,1g$ , $q=10nC$ , $g=10m/s^2$ , $\frac{1}{4\pi\epsilon_0}=9.10^9S.I.$

2.a. Quelle est l’énergie potentielle $E_p(z)$ de la sphère mobile? (on choisit l’énergie de pesanteur nulle en $z=0$ ).

2.b. En terme d’énergie, comment détermine-t-on l’équilibre? le type d’équilibre?

2.c. Retrouvez la position d’équilibre et le type d’équilibre à partir de $E_p(z)$ .

2.d. Tracer $E_p(z)$ .

3. On lâche sans vitesse initiale la sphère mobile d’une hauteur $H>z_0$ .

3.a. Quelle est l’énergie mécanique $E_m(z)$ de la bille mobile? Que peut-on dire de cette énergie? Tracez la courbe $E_m(z)$ sur le graphe de $E_p(z)$ .

3.b. Décrivez le mouvement de la bille en 5 lignes maximum.

3.c. Écrivez l’équation à laquelle satisfait la valeur minimale $h_m$ de $z$ .

3.d. Placez les deux points correspondants à $z=H$ et $z=h_m$ sur le graphe.

3.e. Calculez numériquement $h_m$ . On donne $H=0,1m$ .

3.f. Quelle est la valeur numérique de l’énergie cinétique de la sphère au passage en $M_0$ ?

3.g. De quelle hauteur minimale $H>z_0$ doit-on lâcher la bille pour que celle-ci touche la bille immobile? Le rayon de chaque bille est $r=2mm$ .

Отговори

Решение

1.a. Les forces appliquées sur la charge mobile sont :

le poids $m\vec g=-mg\vec e_z$
la force de répulsion électrostatique $\vec F_c=\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0z_0^2}\vec e_z$

à l’équilibre : $m\vec g+\vec F_c=\vec0$ d’où : $mg=\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0z_0^2}$ , soit : $z_0=q\sqrt{\frac{1}{4\pi\epsilon_0mg}}$ .

1.b. L’équilibre est stable si après un petit écart de la position d’équilibre les forces ont tendance de ramener le corps dans celle-ci. Dans le cas contraire l’équilibre est instable.

La projection algébrique de la force s’exerçant sur la sphère est : $F=\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0z^2}-mg$ . Traçons la en fonction de $z$ :

On voit que pour : $z>z_0$ , $F<0$ ; $z<z_0$ , $F>0$ . La force ramène la sphère en $z_0$ , donc l’équilibre est stable.

1.c. A.N.: $z=3cm$ (Ne pas oublier à convertir tout les unités en unités S.I.!).

2.a. Energie potentielle du pesanteur : $mgz$ . Energie potentielle électrostatique : $+\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0z}$ d’où à une constante additive près : $E_p(z)=mgz+\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0z}$ .

2.b. L’équilibre correspond à un extremum de $E_p(z)$ . L’équilibre est stable si c’est un minimum et instable si l’extremum est maximum.

2.c. On a : $\frac{dE_p}{dz}=mg-\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0z^2}=0$ pour $z=z_0$ ; d’où le résultat de 1.a. Or $\left.\frac{d^2E_p}{dz^2}\right|_{z=z_0}=\frac{q^2}{2\pi\epsilon_0z_0^3}>0$ : équilibre stable.

2.d. On obtient :

Courbes de l’énergie potentielle Eₚ, de mgz et du terme électrostatique, minimum à z₀.

3.a. Il n’y a pas de frottement, donc l’énergie mécanique $E_m=E_p+\frac{mv^2}{2}$ se conserve. En $z=H$ , $v=0$ donc on a $E_m=mgH+\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0H^2}$ . On obtient la figure :

Courbe Eₚ(z) et droite horizontale Eₘ, intersections hₘ et H, minimum en z₀.

3.b. La bille oscille sur l’axe $Oz$ entre les deux points extrêmes $H$ et $h_m$ où la vitesse s’annule et change de signe pour devenir maximal en module en $z=z_0$ .

3.c. On doit avoir $E_p(h_m)=E_m$ . d’où :

mgh_m^2-E_mh_m+\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0}=0

3.d. Voir la figure de 3.a.

3.e. On remarque que $h_m$ et $H$ sont exactement les deux racines de l’équation carré de 3.c. Avec les formules de Wiet on obtient $Hh_m=z_0^2$ d’où : $h_m=\frac{z_0^2}{H}=9mm$ .

3.f. La conservation de l’énergie donne : $\frac{mv^2}{2}+E_p(z_0)=E_p(H)$ d’où $\frac{mv^2}{2}=E_p(H)-E_p(z_0)=4.10^{-5}J$ .

3.g. Pour $z=2r=4mm$ on a $v=0$ , avec la formule établie en 3.e. on obtient $H=\frac{z_0^2}{2r}=0,23m$ .

Graphique de la force F en fonction de z, croisant zéro à z₀.

Теми и трудност

Оценена трудност: 4/5.

Електричество · Механика · Електростатика · Гравитация

Предпоставки: Гимназиална подготовка

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