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Балкански 1998, Теория — Задача 3. Problème III

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Concours Général de Physique Minko Balkanski 1998

Бележка от източника

La clarté et la précision de la rédaction, qui doit être obligatoirement en français, seront prises en compte dans la note finale.

La durée de la composition est de 4 heures.

Условие

L’effet Doppler consiste en une différence entre la fréquence $f$ d’une onde émise par une source $S$ et la fréquence $f'$ de l’onde lorsqu’elle est reçue par un observateur $O$ en fonction de la vitesse radiale $V$ de $O$ par rapport à $S$ . On montre que ces deux fréquences sont reliées par $f'=f(1-\frac{v}{c})$ , où $c$ est la vitesse de propagation de l’onde.

1.a. Quelle relation relie $f$ , $c$ et la longueur d’onde $\lambda$ ?

1.b. La raie d’absorption $H_a$ de l’hydrogène a une longueur d’onde en laboratoire $\lambda_a=656,28nm$ et $\lambda_a'=656,40nm$ dans le spectre de l’étoile d’Aldébaran. Quelle est la vitesse d’Aldébaran par rapport à la Terre?

1.c. Calculez la longueur d’onde $\lambda_\delta'$ de la raie $H_\delta$ de l’étoile Aldébaran sachant qu’en laboratoire on a $\lambda_\delta=410,17nm$ .

2.a. Un satellite est en orbite circulaire à une distance $d$ autour d’une étoile fixe de masse $M$ (fig.2). Quelle sont les forces exercées sur le satellite? En exprimant l’équilibre de ces forces calculez la période de révolution $T$ et la vitesse du satellite en fonction de $G$ , $M$ et $d$ .

Satellite m en orbite circulaire de rayon d autour de l’astre M. — fig.2

Un système binaire est constitué de deux étoiles de masse $M_v$ et $M_c$ . La distance entre les deux étoiles $d$ est constante. Les étoiles suivent des trajectoires circulaires autour du centre de gravité qui reste fixe (fig.3).

Étoiles Mᵥ et M꜀ sur deux orbites circulaires autour du centre de gravité, séparées de d ; flèches des vitesses. — fig.3

2.b. La période de révolution de chacun des deux astres autour du centre de gravité est égale à $T$ , calculé en 2.a) avec $M=M_v+M_c$ . Montrez que la vitesse $V_v$ de l’étoile de masse $M_v$ par rapport au centre de gravité est égale à : $\sqrt{\frac{GM_c^2}{(M_c+M_v)d}}$ .

2.c. Exprimez $d$ en fonction de $V_v$ , $T$ , $M_v$ et $M_c$ et montrez la relation : $\frac{M_c^3}{(M_c+M_v)^2}=\frac{V_v^3T}{2\pi G}$ .

Dans le système binaire Cygnus X-1 l’une des étoiles est visible, l’autre est sombre (c’est à dire elle émet un rayonnement tellement faible qu’il ne peut pas être détecté sur Terre). On dispose des résultats expérimentaux de la figure 4 qui donnent la variation de la longueur d’onde de la raie d’absorption $H_a$ de l’étoile visible en fonction du temps.

Courbe de longueur d’onde λ (nm) en fonction du temps (jours), repères 656,59 et 657,03 nm, maxima aux jours 2,3 et 7,9. — fig.4

3.a. Calculer les vitesses minimale et maximale $V_{min}$ et $V_{max}$ de l’étoile par rapport de la Terre.

3.b. Le centre de gravité du système possède une vitesse $V$ constante par rapport à la Terre. Exprimez $V_{min}$ et $V_{max}$ en fonction de $V$ et $V_v$ (les deux étoiles, le centre de gravité et la Terre sont dans le même plan).

3.c. En déduire les valeurs de $V$ et $V_v$ .

3.d. En exploitant la figure 4 donnez la valeur numérique de la période de révolution $T$ . Justifiez votre réponse.

3.e. Calculez $M_c$ en utilisant le résultat de 2.c) sachant que $M_v=3,0.10^{31}kg$ et $G=6,67.10^{-11}S.I.$ .

Отговори

Решение

1.a. $f\lambda=c$ .

1.b. D’après 1.a. $\lambda=\lambda'(1-\frac{v}{c})$ . Donc $v=\frac{\lambda-\lambda'}{\lambda'}c$ . A.N. $v=55km/s$ . Aldébaran s’éloigne de la Terre à cette vitesse.

1.c. $\frac{\lambda'_\alpha}{\lambda_\alpha}=\frac{\lambda'_\delta}{\lambda_\delta}$ d’où $\lambda'_\delta=\frac{\lambda'_\alpha}{\lambda_\alpha}\lambda_\delta$ . A.N. $\lambda'_\delta=410,25nm$ .

2.a. Dans le référentiel tournant où la planète et le satellite sont immobiles, sur le satellite s’exercent deux forces :

force de gravitation $\frac{GMm}{d^2}$ dirigée vers l’astre.
force centrifuge $m\frac{v^2}{d}$ dirigée dans le sens opposé.

L’équilibre donne $\frac{GMm}{d^2}=m\frac{v^2}{d}$ , d’où $v=\sqrt{\frac{GM}{d}}$ . Or $2\pi d=vT$ , donc $T=\sqrt{\frac{4\pi^2d^3}{GM}}$ .

2.b. La distance $d'$ de $A_v$ à $CG$ est donnée par $d'=\frac{M_c}{M_c+M_v}d$ , par définition de $CG$ . Or $V_vT=2\pi d'$ avec $T=2\pi d'\sqrt{\frac{d}{G(M_c+M_v)}}$ , donc $V_v=\frac{M_c}{M_c+M_v}\sqrt{\frac{G(M_c+M_v)}{d}}$ .

2.c. D’après le 2.b on a $\frac{V_vT}{2\pi M_c}(M_c+M_v)=d=\frac{GM_c^2}{(M_c+M_v)V_v^2}$ et donc $\frac{M_c^3}{(M_c+M_v)^2}=\frac{V_v^3T}{2\pi G}$ .

3.a. On a $1-\frac{v}{c}=\frac{\lambda}{\lambda'}$ d’où $v=c(1-\frac{\lambda}{\lambda'})$ . On remarque que $v$ croît si $\lambda'$ croît, d’où : $v_{max}=c(1-\frac{\lambda}{\lambda'_{max}})=342,5kms^{-1}$ ; $v_{min}=c(1-\frac{\lambda}{\lambda'_{min}})=141,6kms^{-1}$ . 3.b. Voir la figure suivante :

La composition des vitesses donne : $V_{min}=V-V_v$ et $V_{max}=V+V_v$ .

3.c. On en déduit : $V=\frac12(V_{min}+V_{max})=242,0kms^{-1}$ ; $V_v=\frac12(V_{max}-V_{min})=100,5kms^{-1}$ .

3.d. La période de revolution, comme on le voit sur le dessin, est justement la période temporelle du phénomène Doppler d’où $T=7,9-2,3=5,6jours$ .

3.e. En reportant les valeurs de $T$ , $V_v$ et $G$ dans l’expression de III2.b. on trouve $\frac{M_c^3}{(M_v+M_c)^2}=0.58M_\odot$ (avec $1M_\odot=2.10^{30}kg$ ). Or $M_V=3.10^{31}=15M_\odot$ , supposons $M_V\gg M_c$ , alors $\frac{M_c^3}{M_V^2}=0.58M_\odot$ , donc $M_c=(0,58.15^2)^{1/3}=5,1M_\odot\ll15M_\odot$ et alors $M_c=1,0.10^{31}kg$ . Une méthode d’approximations successives donnerait $M_c=1,3.10^{31}kg$ .

Diagramme de composition des vitesses avec la Terre, une orbite et des vecteurs V et Vᵥ.

Теми и трудност

Оценена трудност: 4/5.

Вълни и звук · Механика · Ефект на Доплер · Орбитално движение

Предпоставки: Гимназиална подготовка

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