Съдържание

Балкански 1999, Теория — Задача 1. Problème I

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Балкански 1999

Concours Général de Physique Minko Balkanski 1999 · 11 т.

Бележка от източника

La clarté et la précision de la rédaction, qui doit être obligatoirement en français, seront prises en compte dans la note finale.

La durée de la composition est de 4 heures.

Условие

Le but de ce problème est l’étude des courants électriques dans un condensateur plan. Pour cela on considère un condensateur plan de section $S$ et de distance $L$ entre les électrodes.On lui applique une différence de potentiel $U$ .

Deux électrodes verticales à x=0 et x=L, gauche négative, droite positive, section S et axe x vers la droite.

1. On s’intéresse ici à un condensateur sous vide. [1,5 т.]

1.a. Donner l’expression du champ électriques $E$ entre les électrodes. [0,5 т.]

On considère un seul électron.

1.b. Quelle est la nature du mouvement de l’électron(on donnera la ou les grandeurs caracterisant le mouvement). [0,5 т.]

1.c. En supposant que l’électron part à la vitesse 0 d’un point situé à $x<L$ , donner sa vitesse finale et le temps de parcours. [0,5 т.]

2. On remplit l’espace entre les électrodes avec du gaz parfait à la température $T$ et la pression $P$ . Pour modéliser l’interaction entre les électrons et les atomes du gaz on suppose que les électrons “voient” les atomes comme des sphères rigides de section $\sigma^*$ , les électrons étant considerés comme points matériels. Ceux dérniers ont, alors, un mouvement sans chocs pour une distance $l^*$ dite de libre parcours moyen. Si $n$ est la densité particulaire du gaz on a $n\sigma^*l^*=1$ . [5,5 т.]

2.a. Calculer $n$ en fonction des données et des constantes fondamentales. [1 т.]

2.b. Donner le temps $\tau^*$ pour lequel l’électron parcourt la distance $l^*$ (temps de libre parcours moyens) et sa vitesse finale. Faire une application numérique. [0,5 т.]

2.c. Donner la vitesse moyenne $\nu^*$ de l’électron. Faire une application numérique. [0,5 т.]

2.d. Supposant que la concentrations en électrons est $\eta$ on pose $j=e\eta\nu^*$ , alors le courant électrique à travers la surface $S$ est $I=jS$ . Donner la résistance du condensateur. S’agit-il d’un conducteur ohmique? Commenter. [1 т.]

2.e. En considérant $\eta$ constant calculer le temps de décharge complète du condensateur. Commenter. [2,5 т.]

3. Si l’énergie des électrons est suffisament élevée, ils peuvent créer par choc avec un atome du gaz un nouvel électron. Soit $\epsilon$ l’énergie dela première ionisation du gaz considéré. [4 т.]

3.a. Comment traduire “suffisament élevée”? [0,5 т.]

3.b. Donner la différence de potentiel critique pour qu’on puisse observer cela. Faire une application numérique. [1 т.]

3.c. Supposant que l’électron part de $x=0$ et qu’il produit un nouvel électron après chaque choc, donner le nombre d’électrons récupérés à la cathode. [2 т.]

3.d. A quoi cet appareil peut-il servir? [0,5 т.]

Données numeriques: $S=2cm^2$ , $L=1cm$ , $U=100V$ , $P=10^5Pa$ , $T=20^\circ C$ . Rayon atomique : $r_a=52,9pm$ , $e=1,6.10^{-19}C$ , $m_e=9,1.10^{-31}kg$ , $k=R/N_a=1.38.10^{-23}J.K^{-1}$ , $\eta=10^{10}m^{-3}$ .

Решение

1.a. Le champ électrique est homogène, donc $\vec E=-U/L\vec u_x$ .

1.b. L’électron subit une force de Coulomb $\vec F=-e.\vec E=eU/L\vec u_x$ Donc le mouvement est une accélération uniforme, avec $a=\frac{eU}{mL}$ dirigé selon $\vec u_x$ .

1.c. On a $L-x=\frac{at^2}{2}$ ,et $\nu=at$ , d’où $t=\sqrt{2\frac{L-x}{a}}$ , $\nu=\sqrt{2a(L-x)}$ .

2.a. L’équation du gaz parfait donne $PV=\nu RT$ , avec $\nu$ -nombre de mols du gaz. Par aillures $\nu=\frac{N}{N_a}$ , et $n=\frac{N}{V}$ avec N-nombre de particules. Sachant que $k=\frac{R}{N_a}$ on obtient $P=nkT$ ,d’où $n=\frac{P}{kT}$ .

2.b. $l^*=\frac{1}{n\sigma^*}$ , et d’après 1.c $t^*=\sqrt{2\frac{l^*}{a}}=\sqrt{\frac{2kTmL}{eUP\sigma^*}}$ ,de même $\nu=\sqrt{2l^*a}=\sqrt{2\frac{eUkT}{PmL\sigma^*}}$

2.c. $\nu^*=\frac{l^*}{t^*}=\sqrt{\frac{eUkT}{2PmL\sigma^*}}$

2.d. Soit R la résistence du condensateur. On a $R=\frac{U}{I}=\frac{U}{jS}=\frac{U}{e\nu^*\eta S}=\sqrt{\frac{2PmUL\sigma^*}{e^3kT\eta^2S^2}}$ .Il ne s’agit pas d’un conducteur ohmique car la résistence dépend de la tension appliqué. On remarque que plus la tension est grande, plus la résistence est grande.

2.e. En faisant un bilan de charge on a $-dq=idt$ , d’où $C\frac{dU}{dt}=jS=e\nu^*\eta S=\eta S\sqrt{\frac{e^3UkT}{2PmL\sigma^*}}$ , d’où en intégrant et sachant que $C=\frac{\epsilon_0S}{L}$ , on trouve $t=2\frac{\epsilon_0}{L\eta}\sqrt{\frac{2PmUL\sigma^*}{e^3kT}}$ .

3.a. Suffisamment élevé signifie que l’énenrgie cinétique finale $\frac{m\nu^2}{2}>\epsilon$ .

3.b. Pour la différence de potentiel critique on a $\frac{m\nu^2}{2}=\epsilon$ ,d’où $\frac{eUkT}{PL\sigma^*}=\epsilon$ , doù $U=\frac{\epsilon PL\sigma^*}{ekT}$ .

3.c. Le nombre d’électrons récupéré à la cathode est $N=2^Z$ , avec Z-nombre de chocs. $Z=\frac{L}{l^*}$ , d’où $N=2^{\frac{PL\sigma^*}{kT}}$ .

3.d. Comme à la cathode on récupère beaucoup d’électrons, cela va produire une variation de potentiels détectable. On pourra ainsi détecter la création d’un seul électron, par un rayonnement ionisant par exemple i.e. on a construit un détecteur de rayonnements ionisants.

Теми и трудност

Оценена трудност: 4/5.

Електричество · Кондензатори и диелектрици · Ток и съпротивление

Предпоставки: Гимназиална подготовка

Оригинал в Архива: CGP_1999.pdf · официални решения: CGP_1999_cr.pdf