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Балкански 2000, Теория — Задача 1. Propulsion électrostatique

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INSTITUT DES HAUTES ÉTUDES · POUR LE DÉVELOPPEMENT DE LA CULTURE, DE LA SCIENCE ET DE LA TECHNOLOGIE EN BULGARIE · Concours Général de Physique Minko Balkanski · 7 mai 2000 · 7 май 2000 г. · 20 т.

Бележка от източника

La clarté et la précision de la rédaction, qui doit être obligatoirement en français, seront prises en compte dans la note finale.

Les deux problèmes sont indépandants entre eux et peuvent être abordés dans n’importe quel ordre.
La durée de la composition est de 4 heures.

Условие

1.1.(Excercice préliminaire) On se propse d’étudier le choc central, parfaitement élastique entre deux corps de masses $m$ et $M$ (fig. 1.1). Le corps $M$ est initialement immobile ; le corps $m$ possède initialement une vitesse $v_0$ . On notera par $v_1$ et $v_2$ les vitesses de $m$ et $M$ respectivement après le choc. Les centres de gravité des deux corps ne quittent pas l’axe indiqué sur la figure.

Deux billes de masses m et M alignées; m se dirige vers M à la vitesse v₀. — Figure 1.1

1.1.a. Écrire la conservation de la quantité du mouvement. [0,5 т.]

1.1.b. Écrire la conservation de l’énergie cinétique (pourquoi a-t-on le droit de le faire? ) [0,5 т.]

1.1.c. Calculer $v_1$ et $v_2$ en fonction de $v_0$ et $m$ et $M$ . (Astuce: utiliser $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ ). [1 т.]

1.1.d. Que deviennent ces expressions si $M\gg m$ ? Vous venez de montrer que dans la limite $M\gg m$ le corps léger est réfléchi par le corps lourd avec la même vitesse (résultat utile pour la suite). [0,5 т.]

1.2.On considère une bille métalique, de rayon $R$ , porteuse d’une charge électrique $Q$ et solidement accrochée au sol. Une autre bille, identique à la précédente mais non chargée et de masse $M$ se trouve à une hauteur $H_0$ comptée à partir du point A comme à la fig.1.2 . On note par $g$ l’accélération de la pesanteur.

Bille M au-dessus du point A à la hauteur H₀, bille inférieure chargée Q; 3R jusqu’au sol et accélération g vers le bas.

1.2.a. On lache la bille non chargée qui effectue une chute libre. Donner sa vitesse au point A. [0,5 т.]

1.2.b. On va considérer les chocs entre les billes comme étant parfaitement élastiques. Quelle est la vitesse de la bille $M$ juste après le choc? Justifier. [0,5 т.]

1.2.c. Comme les billes sont toutes les deux conductrices, pendant le choc il y a répartition quasi-instantanée de la charge électrique: chacune des deux se voit porteuse d’une charge $\frac{Q}{2}$ . Donner l’énergie $U$ électrostatique du système en fonction de $Q,R$ et la permittivité du vide $\epsilon_0$ , sachant que chaque bille est alors équivalente à une charge ponctuelle $\frac{Q}{2}$ placée en son centre (fig.1.3). [1 т.]

Deux billes avant et après le choc; charge initiale Q sur la bille du bas, puis Q/2 sur chaque bille. — Figure 1.3

(On remarque que les rayons des billes sont supposés assez petits pour qu’on puisse négliger le phénomene d’induction électrostatique.)

1.2.d. (question indépendante; 1 pts) Calculer également l’énergie électrostatique totale du du système avant et après la répartition. Intérpreter. [1 т.]

1.2.e. Les forces agissant sur les billes sont-elles répulsives ou attractives? On notera $H_1$ la hauteur maximale atteinte par la bille $M$ . Ecrire la loi de conservation de l’énergie mécanique pour le système des deux billes . On peut considérer que pour $H_1$ suffisamment grand l’énergie électrostatique est négligeable devant l’énergie potentielle de pesanteur (Pouvez-vous justifier?) Donner $H_1$ en fonction de $M$ , $g$ , $Q$ , $R$ , $H_0$ et $\epsilon_0$ . [1,5 т.]

1.2.f. Quand la bille $M$ atteint la hauteur maximale, on la met en contact avec une électrode reliée à la terre (fig.1.4) de façon qu’elle se décharge. Calculer alors la vitesse avec laquelle elle retombe sur la bille immobile. [0,5 т.]

Bille haute mise à la terre par une électrode à la hauteur H₁ au-dessus de la bille immobile.

1.2.g. Quelle est la nouvelle charge des deux billes? On répète la procédure entière $n$ fois. Quelle est la charge $Q_n$ des deux billes juste apres le $n$ -ième rebond? Vers quelle limite tend elle si $n\to\infty$ ? [1 т.]

1.2.h. Montrer la relation de récurrence suivante:

H_n=\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0MgR}\left(\frac{1}{4}\right)^n+H_{n-1},

entre les hauteurs maximales $H_n$ et $H_{n-1}$ après les $n$ -ième et $n-1$ -ième rebonds respectivement. [2 т.]

1.2.j. Calculer explicitement $H_n$ en fonction de $Q$ , $g$ , $M$ , $R$ , $\epsilon_0$ , $H_0$ et $n$ . Quelle est la hauteur maximale $H_{max}$ atteinte lorsque les deux billes sont complètement déchargées? [3 т.]

1.2.k. On donne $\frac{1}{4\pi\epsilon_0}=9.10^9\ SI$ , $g=9{,}8ms^{-1}$ , $M=0{,}5kg$ , $R=1cm$ , $H_0=10m$ . Calculer $Q$ pour avoir $H_{max}=20m$ . [1 т.]

1.3.On s’intéresse dans cette partie à la possibilité de satellisation de la bille. Un corps devient satellite de la Terre s’il est éjecté de sa surface avec la première vitesse cosmique qui vaut $v_I\approx8kms^{-1}$ .

1.3.a. Réécrire la relation de récurrence de façon qu’elle contienne non pas les hauteurs, mais les carrés des vitesses $v_n$ après le $n$ -ième rebond. [2 т.]

1.3.b. Trouver explicitement la vitesse $v_n$ en fonction de $Q$ , $g$ , $M$ , $R$ , $\epsilon_0$ , $v_0^2$ et $n$ , puis sa limite $v_{max}$ quand $n\to\infty$ . Ces résultats sont valables même pour des champs gravitationnels non homogènes comme celui de la Terre à grandes distances. Pouvez-vous expliquer pourquoi? [2,5 т.]

1.3.c. On négligera $v_0$ devant $v_{max}$ pour la suite. Trouvez alors numériquement $Q$ pour que $v_{max}=8kms^{-1}$ . [1 т.]

1.3.d. Quels inconvénients importants comporte, selon vous, cette méthode de satellisation des corps autour de la Terre?(+0.5 pts de bonus pour chaque raison citée et physiquement acceptable).

Отговори

Решение

Problème 1
1.1.a. $mv_0=mv_1+Mv_2$ .
1.1.b. Le choc étant élastique on a $\frac{mv_0^2}{2}=\frac{mv_1^2}{2}+\frac{Mv_2^2}{2}$ .
1.1.c. On écrit $\frac{M}{m}v_2^2=v_0^2-v_1^2=(v_0+v_1)(v_0-v_1)$ puis on utilse 1.a. pour obtenir $v_2=v_1+v_0$ . On en tire facilement: $v_2=\frac{2m}{m+M}v_0$ , $v_1=\frac{m-M}{m+M}v_0$ .
1.1.d. Evidemment $v_2\to0$ , $v_1\to-v_0$ .
1.2.a. Ecrivons la conservation de l’énergie: $\frac{Mv_0^2}{2}=MgH_0$ d’où $v_0=\sqrt{2gH_0}$ .
1.2.b. $-v_0$ car la bille chargée étant solidement accrochée au sol, on peut la considérer de masse infinie.
1.2.c. La distance entre les billes à cet instant est $2R$ d’où: $U=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{(Q/2)^2}{2R}=\frac{Q^2}{32\pi\epsilon_0R}$ .
1.2.d. Avant le choc cette énergie vaut $U=\frac12Q\phi$ où $Q$ est la charge répartie sur la surface de potentiel $\phi$ . Comme ici $\phi=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0R}$ on en tire $U=\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0R}$ . Après le choc il faut aussi prendre en compte les énergies électrostatiques ”propres” de chaque distribution qui valent: $U'=2\cdot\frac{(Q/2)^2}{8\pi\epsilon_0R}=\frac{Q^2}{32\pi\epsilon_0R}$ chacune. En somme après la rédistribution on aura la méme énergie électrostatique. En effet, les lois de l’électrostatique ne dépendent pas de la masse de l’électron, donc on peut ne pas prendre en compte la création du chaleur par effet Joule lors de la rédistribution de la charge entre les deux billes.
On pourra quand même donner une intérprétation avec la deuxième principe de la thérmodynamique: bien qu’il n’y a pas transport du chaleur l’éntropie des électrons augmente car il y a expansion dans la partie de l’éspace de phase corréspondante aux coordonées - en analogie avec la détente de Joule-Tomson d’un gaz parfait. Et pourtant, cet analyse me parraît encore assez douteaux: je suis ouvert aux propositions ...
1.2.e. Répulsives, bien sûr. On a $MgH_1=\frac{Q^2}{32\pi\epsilon_0R}+\frac{Mv_0^2}{2}$ d’où avec 2.a. $H_1=\frac{Q^2}{32\pi\epsilon_0MgR}+H_0$ . Le rapport $\frac{E_{elect.}}{E_{gravit.}}$ decroît comme $1/H^2$ , on peut s’attendre à ce que pour des hauteurs assez grandes il soit $\ll1$ .
1.2.f. Comme en 2.a. on obtient (car la bille maintenant est neutre): $v_1=\sqrt{2gH_1}=\sqrt{2gH_0+\frac{Q^2}{16\pi\epsilon_0gR}}$ .
1.2.g. Chaque fois la charge restante est divisée en deux donc $Q_n=\frac{Q}{2^n}$ . Elle tend vers zéro à la limite des grands $n$ .
1.2.h. On procède par analogie avec 2.c. pour obtenir: $H_n=\frac{Q_n^2}{8\pi\epsilon_0MgR}+H_{n-1}$ , soit: $H_n=\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0MgR}\left(\frac14\right)^n+H_{n-1}$ .
1.2.j. Il s’agit de sommer une simple suite géometrique de raison $\frac14$ , ainsi (on somme à partir de $n=1$ !): $H_n=\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0MgR}\left(\frac{1-(\frac14)^{n+1}}{1-\frac14}-1\right)+H_0$ , ce qui donne: $H_n=\frac{Q^2}{24\pi\epsilon_0MgR}\left(1-\left(\frac14\right)^n\right)+H_0$ . Dans la limite $n\to\infty$ on obtient: $H_{max}=\frac{Q^2}{24\pi\epsilon_0MgR}+H_0$ .
1.2.k. Numériquement on obtient $Q=0.18\mu C$ .
1.3.a. Sachant que $v_n^2=2gH_n$ on obtient immédiatement: $v_n^2=\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0MR}\left(\frac14\right)^n+v_{n-1}^2$ .
1.3.b. Exactement comme en 2.h. on obtient: $v_n^2=\frac{Q^2}{12\pi\epsilon_0MR}\left(1-\left(\frac14\right)^n\right)+v_0^2$ , puis la limite est: $v_{max}^2=\frac{12Q^2}{\pi\epsilon_0MR}$ , soit $v_{max}\approx Q\sqrt{\frac{12}{\pi\epsilon_0MR}}$ . Ces résultats sont universels, en effet il traduissent la conversion de l’énergie électrostatique en énergie cinétique de la bille via l’énergie gravitationnelle; comme l’énergie gravitationnelle est entièrement convertie, sa forme mathématique explicite n’intervient pas dans les calculs.
1.3.c. Numériquement on trouve $Q=8.6\cdot10^{-4}C$ .
En voici quelques raisons pour lesquelles cette méthode de propulsion ne peut jamais être mise en pratique:
-les charges électriques nécessaires sont trop grandes,
-on ne peut pas placer l’électrode de décharge à n’importe quelle hauteur,
-les chocs ne sont jamais parfaitement élastiques,
-le temps de propulsion est déraisonnablement long puisque la trajectoire effectivement parcourue est très longue,
-il faut prendre en compte le frottement fluide de l’air et sa conductivité électrique,
-par la 1ère loi de Kepler la bille va retomber sur la Terre car sa trajectoire sera une ellipse (la faible ellipticité provient de la vitesse de rotation de la Terre autour son axe qui est maximale à l’équateur et vaut $\approx0{,}5kms^{-1}$ ) très aplatie (voir la figure),
-on a oublié le champ électrostatique de la Terre,
-un satellite utile contient de l’électronique, qui ne fait pas bon ménage avec l’électricité statique.
-on n’a pas pris en compte les phenomenes d’induction électrostatique, ces qui fait que les calculs de l’énergie électrostatique corréspondant à l’intéraction sont légèrement faux. Ces phenomene intervient, d’une part par un dipôle induit à l’approche de la bille chargée vers la bille non-chargée: D’autre part au moment quand les deux billes se touchent la distributions des charges est differente de celle dans l’énonce (cetre de charge dans les deux bille décalés):
-on ne sait pas trop comment préndre en copmte les pertes par effet Joule lor de la rédistribution des charges pour les conducteurs réels qui ne sont pas parfait ...

Induction: bille neutre polarisée, charges positives à gauche et négatives à droite, en face de la bille chargée +Q.

Schéma de la Terre et d’une trajectoire elliptique très aplatie revenant à sa surface.

Deux billes jointives portant des charges positives réparties de manière inégale et décalées autour du contact.

Бележка от източника

FIN

Теми и трудност

Оценена трудност: 5/5.

Електричество · Механика · Електростатика · Импулс и сблъсъци · Работа и енергия

Предпоставки: Гимназиална подготовка, Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: CGP_2000.pdf · официални решения: CGP_2000_cr.pdf