Балкански 2001, Теория — Задача 1. A propos du gaz parfait

• a) $pV=\nu RT$
• b) $p=nkT$
• c) $p=\frac{F}{S}$
• d) $p=\frac{1}{3}nmv^2$
• e) $\varepsilon=\frac{3}{2}kT$
• a) $n_1v_1+n_3v_3=2n_2v_2,\quad n_1v_1T_1+n_3v_3T_3=2n_2v_2T_2$
• b) $p_2=p\frac{\sqrt{T_1}+\sqrt{T_3}}{2\sqrt[4]{T_1T_3}},\quad T_2=\sqrt{T_1T_3}$

Problème 1.

Partie 1.
a) (0.5) L’équation du gaz parfait c’écrit $pV=\nu RT$, ou $\nu$ est le nombre de mols.
b) (0.5) Sachant que $\nu=N.N_a$ et que $n=\frac{N}{V}$ on trouve $p=nkT$.
c) (0.5) Par définition $p=\frac{F}{S}$.
d) (2.5) On va d’abord regarder quelle est la force qui s’exerce sur une surface $S$ de la part d’un gaz, dont la vitesse moyenne des particules est $v$. Chaque particule a une quantité de mouvement $m\vec v$ et subit des chocs élastiques sur la surface. Lors d’un choc la composante de la vitesse parallèle à la surface $v_{\parallel}$ ne change pas, par contre la composante perpendiculaire à la surface $v_{\perp}$ change de signe. La quantité de mouvement reçue donc par la surface est $\Delta P=2mv_{\perp}$. Pendant un temps $\Delta t$ la quantité de mouvement reçue par la surface de la part du gaz est $\Delta\widetilde P=2mv_{\perp}\Delta N$ ou $\Delta N$ est le nombre de particules qui arrivent sur la surface. Vu que la direction des particules est équiprobable, on peut faire l’approximation que 1/3 de particules ont une vitesse perpendiculaire à la surface et 2/3 une vitesse parallèle. De ces 1/3 de particules la moitié ont la vitesse dirigée vers la surface et l’autre moitié ont la vitesse opposée. Au total 1/6 des particules ont la vitesse dirigée perpendiculairement vers la surface. De ces particules celles qui vont atteindre la surface pendent un temps $\Delta t$ sont celles qui se trouvent dans le cylindre dont la section est la surface $S$ et la hauteur est $v\Delta t$. D’ou $\Delta N=\frac{1}{6}nSv\Delta t$. Avec ces hypothèses on peut confondre $v_{\perp}=v$, et finalement pour la quantité de mouvement reçue par la surface on trouve $\Delta\widetilde P=\frac{1}{3}nmv^2S\Delta t$ Donc pour la pression $p=\frac{\Delta\widetilde P}{S\Delta t}=\frac{1}{3}nmv^2$.
e) (1.0) Comme $\varepsilon=\frac{mv^2}{2}$, on trouve immédiatement que $nkT=\frac{2}{3}n\varepsilon$, d’ou le résultat voulu $\varepsilon=\frac{3}{2}kT$.

Partie 2.
a) (2.0) Dans le compartiment 2 On doit écrire que le nombre de particules qui viennent de part du compartiment 3 et 1 est égal au nombre de particules qui sortent du compartiment 2. Soit $n_i$ la densité en particules dans le compartiment $i$ et $v_i$ la vitesse des particules. On écrit alors $n_1v_1+n_3v_3=2n_2v_2$. De même la conservation de l’énergie amène à l’équation $n_1v_1T_1+n_3v_3T_3=2n_2v_2T_2$.
b) (3.0) En utilisant que $n=\frac{p}{kT}$ et que $v\sim\sqrt T$, on trouve les équations $\frac{p}{\sqrt{T_1}}+\frac{p}{\sqrt{T_3}}=\frac{2p_2}{\sqrt{T_2}}$ et $p(\sqrt{T_1}+\sqrt{T_3})=2p_2\sqrt{T_2}$. D’où en multipliant ces équations on trouve $p_2=p\frac{\sqrt{T_1}+\sqrt{T_3}}{2\sqrt[4]{T_1T_3}}$ et en les divisant on trouve $T_2=\sqrt{T_1T_3}$.