Съдържание

Условие 1.1.1.2.1.3.1.4*.Отговори Решение

Балкански 2002, Теория — Задача 1. Problème I

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Concours Général de Physique Minko Balkanski · Mai 2002 · 16 т.

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Le corrigé comporte plusieurs expressions mathématiques incohérentes, conservées telles qu’imprimées.

Указания

La clarté et la précision de la rédaction, qui doit être obligatoirement en français, seront prises en compte dans la note finale.

Les deux problèmes sont indépendants entre eux et peuvent être abordés dans n’importe quel ordre.

La durée de la composition est de 4 heures.

Условие

On considère une balle de masse $m$ accrochée à un ressort de masse négligeable, de raideur $k$ et de longueur au repos $l_0$ . L’autre extrémité du ressort est accrochée au point $O$ qui est fixe. Le ressort ne peut se déformer que selon sa longueur.

Dans la suite on négligera toute force de frottements. Le mouvement s’effectue toujours dans le plan des figures, et il n’y a pas de forces de pesanteur.

1.1.

Trois positions de la balle et du ressort: a) vitesse axiale v₁, masse m, raideur k, longueur l₀; b) déplacement sur A et angle φ; c) rotation avec vitesse v₃ et longueur l. — Figure 1.1

a. La balle possède une vitesse $\vec{v}$ quelconque et la longueur du ressort est $l$ . Donner l’énergie mécanique totale du système. [0,5 т.]

b. Dans la figure 1.1.a. le ressort est initialement au repos et la balle est lancée avec une vitesse $v_1$ parallèlement à l’axe du ressort. Donner l’élongation maximale du ressort. [0,5 т.]

c. Dans la figure 1.1.b. le ressort est initialement au repos. La balle est contrainte de se déplacer selon l’axe $A$ perpendiculaire au ressort au repos. Si la vitesse initiale de la balle est $v_2$ , quel est l’angle $\varphi$ correspondant à la position extrême de la balle sur l’axe? [1 т.]

1.2.

Dans la figure 1.1.c. la balle tourne autour le point $O$ avec une vitesse $v_3$ .

a. Quelles sont les forces agissant sur la balle? Écrire une équation carrée pour la longueur du ressort en fonction des paramètres. [1 т.]

b. Donner les deux solutions de cette équation. Que deviennent-elles lorsque $v_3=0$ ? En déduire la solution physiquement acceptable. [2 т.]

c. Donner la période du mouvement. [0,5 т.]

1.3.

Dans la figure 1.2 le ressort est initialement au repos et la balle est lancée avec une vitesse initiale $v$ perpendiculaire au ressort. Pour une position antérieure de la balle, on notera par $v_r$ et $v_{\vartheta}$ les composantes de la vitesse respectivement parallèle et perpendiculaire au ressort.

Ressort en deux positions, point fixe O, longueur l₀, vitesse initiale v et composantes radiale et transversale de la vitesse. — Figure 1.2

a. En s’appuyant sur le résultat de la question 1.1.a. écrire la relation existante entre $v$ , $v_r$ , $v_{\vartheta}$ , $l_0$ et $l$ - la longueur du ressort à la position antérieure. [1 т.]

b.* Montrer que la conservation du moment cinétique implique la relation:

l_0v=lv_{\vartheta}.

[1 т.]

c. En déduire une équation pour l’élongation maximale $l_{max}$ du ressort. La simplifier en supposant $l_{max}-l_0\ll l_0$ . Que vaut $l_{max}$ dans ces conditions? [2 т.]

1.4*.

On se propose dans cette question de déterminer (de façon approchée) le mouvement de la balle de la question précédente.

a. Ecrire l’équation de la dynamique pour la vitesse $v_r$ . [1 т.]

b. En se servant de la conservation du moment cinétique, éliminer la vitesse $v_{\vartheta}$ . On posera $x=l-l_0$ . Écrire une équation différentielle du second ordre vérifiée par $x$ . [1 т.]

c. Simplifier l’équation en supposant $x$ petit. Quelles sont les conditions initiales pour cette équation? On rappelle la formule approchée:

(1+y)^\alpha\approx1+\alpha y

pour $y\ll1$ et $\forall\alpha\in\mathbb{R}$ . [1 т.]

d. Résoudre l’équation pour ces conditions initiales. Que pouvez-vous dire pour le mouvement radiale de la balle? Donner l’amplitude et la période du mouvement. [2 т.]

e. Expliciter une condition sur l’amplitude pour que l’approximation faite plus haut soit applicable. Pour quelle gamme de vitesses initiales cette condition est satisfaite? [2 т.]

f. Comparer les périodes du mouvement radiale et de rotation. [0,5 т.]

Отговори

Решение

Corrigé du Problème 1

1.1.

\boxed{E_M=\frac12k(l-l_0)^2+\frac12m\vec{v}^{\,2}}

b. Pas de forces de frottement: l’énergie mécanique se conserve. En autre, pour l’élongation maximale la vitesse s’annule, donc:

\frac12k(l-l_0)^2+0=\frac12mv_1^2\Rightarrow\boxed{l=l_0+v_1\sqrt{\frac{m}{k}}}

c. Comme pour la question précédente on obtient pour la longueur maximale: $l=l_0+v_2\sqrt{\frac{m}{k}}$ , d’où pour le cosinus de l’angle:

\boxed{\cos\varphi=\frac{l_0}{l}=\frac{1}{1+\frac{v_2}{l_0}\sqrt{\frac{m}{k}}}}

1.2.

a. Il s’agit de la force centrifuge $\frac{mv_3^2}{l}$ et la force de rappel $-k(l-l_0)$ . La condition d’équilibre donne $\boxed{mv_3^2=k(l-l_0)l}$ .

b. On a $\boxed{l=(l_0\pm\sqrt{l_0^2-\frac{4mv_3^2}{k}})/2>0}$ . Si $v_3=0$ on doit avoir $l=l_0$ , donc la solution acceptable est la solution avec ”+”.

c. On en déduit: $\boxed{T=\frac{2\pi l}{v_3}=\frac{\pi}{v_3}(l_0+\sqrt{l_0^2-\frac{4mv_3^2}{k}})}$ .

1.3.

a. Conservation de l’énergie:

\boxed{mv^2=m(v_r^2+v_{\vartheta}^2)+k(l-l_0)^2}

b. $L=mlv$ se conserve (force centrale), d’où la relation demandée.

c. On élimine tout d’abord la vitesse $v_\theta$ pour obtenir: $v^2=v_r^2+v^2\frac{l_0^2}{l^2}+\frac{k}{m}(l-l_0)^2$ . L’élongation est maximale pour $v_r=0$ d’où:

\boxed{v^2(1-\frac{l_0^2}{l_{max}^2})=\frac{k}{m}(l_{max}-l_0)^2}.

Après simplifications on trouve: $\boxed{l_{max}\approx l_0+\frac{2mv^2}{k}}$ .

1.4.

a. Connaissant les forces on a:

\boxed{m\dot{v}_r=-k(l-l_0)+\frac{mv_\theta^2}{l}}.

b. L’équation demandée est: $\boxed{\ddot{x}=-x\frac{k}{m}+\frac{v^2l^2}{(l_0+x)^3}}$ .

c. On obtient aisément l’équation:

\boxed{\ddot{x}=-x(\frac{k}{m}+\frac{3v^2}{l_0^2})+\frac{v^2}{l_0}}.

Les conditions initiales sont: $\boxed{\dot{x}=0\text{ et }x=0}$ .

d. Il s’agit d’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation $\Omega=\sqrt{\frac{k}{m}+\frac{3v^2}{l_0^2}}$ et de position d’équilibre déplacée de $x_0=\frac{v^2}{\Omega^2l_0}$ . La solution générale s’écrit: $x-x_0=A\cos\Omega t+B\sin\Omega t$ . Avec les CI: $\boxed{x=\frac{v^2}{\Omega^2l_0}(1-\cos\Omega t)}$ .

L’amplitude du mouvement est: $\boxed{\Delta x=\frac{v^2}{\Omega^2l_0}}$ , la période $\boxed{T=2\pi/\Omega}$ .

e. On doit avoir: $\Delta x\ll l_0$ càd: $\frac{v^2}{\Omega^2l_0}\ll l_0$ . C’est vraie pour des vitesses de module: $\boxed{v\ll l_0\sqrt{\frac{m}{k}}}$ .

f. On a $T_{rad}=2\pi/\Omega\approx2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ et $T_{rot}\approx2\pi l_0/v$ . La condition sur les vitesses implique: $\boxed{T_{rot}\gg T_{rad}}$ .

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Механика · Механични трептения

Предпоставки: Гимназиална подготовка

Оригинал в Архива: CGP_2002.pdf · официални решения: CGP_2002_cr.pdf