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Условие Решение

Балкански 2003, Теория · френски — Задача 3. Troisième Problème : Trois voltmètres

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Concours Général de Physique “Minko Balkanski” — 3 mai 2003

Concours Général de Physique “Minko Balkanski” — 3 mai 2003

INSTITUT DES HAUTES ÉTUDES

pour le développement de la culture, de la science et de la technologie en Bulgarie

http://www.ccr.jussieu.fr/iheb/

La rédaction doit être obligatoirement en français.

Les quatres problèmes sont indépendants entre eux et peuvent être abordés dans n’importe quel ordre. La durée de la composition est de 4 heures.

La calculatrice n’est pas autorisée.

Условие

On considère le montage de figure ??. La source de tension est considérée comme idéale. Les résistances sont toutes égales à $R$ . Les voltmètres ne sont pas idéaux mais ont une résistance finie identique $R_V$ . Les voltmètres $V_1$ et $V_2$ mesurent respectivement 100 V et 40 V.

Trouver la tension indiquée par le voltmètre $V_3$ . Trouver la tension de la source. Que vaut le rapport de $R$ et de la résistance interne des voltmètres $R_V$ ?

Montage à trois résistances et trois voltmètres, avec source E. — Fig. 2 – Montage d’électronique

Решение

Montage annoté avec courants I, I-prime, I-double-prime, I1–I3 et potentiels phi1–phi3. — Fig. 2 – Montage électrique

On considère le montage ci-dessus (Figure 2) avec $\varphi_1$ , $\varphi_2$ et $\varphi_3$ les potentiels des nœuds correspondants.

D’après la loi d’Ohm on a :

\begin{cases}\frac{\varphi_1}{R_v}=I_1\\\frac{\varphi_2}{R_v}=I_2\\\frac{\varphi_3}{R_3}=I_3\end{cases}\qquad (30)

\begin{cases}\varphi_1-\varphi_2=I'R\\\varphi_2-\varphi_3=I''R\\E-\varphi_1=IR\end{cases}\qquad (31)

Par ailleurs la lois des nœuds nous fournit les relation suivantes :

\begin{cases}I=I_1+I'\\I'=I_2+I''\\I''=I_3\end{cases}\qquad (32)

On remplace les courants dans (32) par leurs expressions en fonction des potentiels tirées de (30) et (31).

On aboutit au système final :

\begin{cases}\frac{E-\varphi_1}{R}=\frac{\varphi_1}{R_v}+\frac{\varphi_1-\varphi_2}{R}\\\frac{\varphi_1-\varphi_2}{R}=\frac{\varphi_2}{R_v}+\frac{\varphi_2-\varphi_3}{R}\\\frac{\varphi_2-\varphi_3}{R}=\frac{\varphi_3}{R_v}\end{cases}\qquad (33)

Avec $\varphi_1=V_1$ et $\varphi_2=V_2$ . Donc on a un système de trois équations avec trois inconnus $E$ , $\varphi_3$ et $\frac R{R_v}$ .

En le résolvant on trouve :

\begin{cases}V_3=\varphi_3=20\mathrm V\\E=260\mathrm V\\\frac R{R_v}=1\end{cases}\qquad (34)

Note de source : le dénominateur de la troisième ligne de (30) est imprimé $R_3$ , tandis que (33) utilise $R_v$ .

5 Formulaire

Taille caractéristique de l’atome $a=0,53\cdot10^{-10}\mathrm m$

Constante gravitationnelle $G=6,67\cdot10^{-11}\mathrm m^2\mathrm{kg}^{-2}$

Masse caractéristique de l’atome $\mu=1,67\cdot10^{-27}\mathrm{kg}$

Constante de Boltzmann $k=1,38\cdot10^{-23}\mathrm J\mathrm K^{-1}$

Charge de l’électron $q_e=1,6\cdot10^{-19}\mathrm C$

Relation utile :

e^2=\frac{q_e^2}{4\pi\epsilon_0}=2,3\cdot10^{-28}\mathrm J\mathrm m\qquad (2)

Note de source : l’unité de $G$ est reproduite telle qu’imprimée. Le renvoi « page 6 » de l’énoncé désigne ce formulaire, qui apparaît sur la page 4 du PDF. Les renvois « fig. ?? » sont également présents dans la source ; les figures correspondantes sont conservées.

Оригинал в Архива: CGP_2003.pdf · официални решения: CGP_2003_cr.pdf