Балкански 2007, Теория — Задача 1. La voile solaire

Concours Général de Physiques “Minko Balkanski” · 20 май 2007 г. · 15 т.

Условие

Comme des paquebots jadis poussés par le vent, dans le futur on voyagera de planète en planète avec des voiliers propulsés par les rayons du Soleil ... Ceci n’est plus une fiction, mais une scénario sérieusement envisagée par des nombreux scientifiques et ingénieurs spatiales. En effet, les voiles propulsés par le Soleil n’auront aucun consommation de carburant. On se propose ici de comprendre leur principe de fonctionnement et d’estimer quelques ordres de grandeur.

[Photons incidents et réfléchis sur une voile solaire de réflectivité R.]

1. La voile solaire est modélisée par un miroir de réflectivité $R$, comme à la figure ci contre. Un flux de photons, d’énergie $h\nu$ est incident perpendiculairement sur la voile, avec $h$ la constante de Plank et $\nu$ la fréquence de la radiation.

On rappelle qu’un photon d’énergie $h\nu$ porte une quantité de mouvement $p$ égale à :

avec $c$ la vitesse de la lumière, $c=3\times10^8\ ms^{-1}$.

1.a) Supposons qu’un photon incident est absorbé par la voile. Quelle est la quantité de mouvement communiquée à la voile ? [0,5 т.]

1.b) Supposons maintenant qu’un photon incident est réfléchi par la voile. Quelle est alors la quantité de mouvement communiquée à la voile ? [0,5 т.]

1.c) Si le photon est réfléchi avec une probabilité $R$, et absorbé avec une probabilité $1-R$, quelle est, en moyenne, la quantité de mouvement fournie par chaque photon ? [1 т.]

1.d) Le flux des photons, soit le nombre de photons arrivant sur la voile par unité de temps et par unité de surface est $\Phi$. Si la surface de la voile est $S$, montrer que la force $F$ exercée sur la voile est :

[1 т.]

2. On s’interesse maintenant au lancement de la voile. Dans le tableau suivant, on a reporté le flux d’énergie solaire, en $W/m^2$ au voisinage des planètes du système solaire en fonction de la distance au Soleil, exprimé en unité astronomiques U.A. On rappelle qu’une unité astronomique est la distance Terre-Soleil : 1 U.A. = $149.6\times10^6\ km$.

2.a) Quelle est le lien entre le flux d’énergie solaire $\Phi_E$, en $W/m^2$ et le flux des photons $\Phi$, si l’énergie moyenne des photons est $h\nu$ ? Donnez alors une expression simplifiée de la force de radiation s’exerçant sur la voile. [0,5 т.]

2.b) Si on veut lancer une voile à grande vitesse, est-il plus avantageux de la lancer au voisinage du Mercure, ou au voisinage du Neptune ? Expliquez pourquoi. [0,5 т.]

2.c) Complétez la quatrième colonne du tableau par le produit du flux fois la distance Planète-Soleil au carré. Qu’observe-t-on ? Donner une explication. [2 т.]

2.d) Montrez alors que la force de radiation s’écrit :

avec $r$ la distance planète-Soleil, et $A$ une constante qu’on explicitera numériquement, en unités S.I. [1 т.]

3. La force obtenue dans la question précédente rappelle la force de la gravitation entre le Soleil et un objet de masse $m$, qui s’écrit :

avec $G$ la constante de gravitation, $G=6.67\times10^{-11}\ m^3s^{-2}kg^{-2}$, et $M$ la masse du Soleil, $M\approx2\times10^{30}\ kg$.

3.a) Quelles sont les differences majeurs entre les deux forces (4) et (3) ? [2 т.]

3.b) On déploie une voile solaire, de masse $m=100\ kg$ sur l’orbite de la Terre. La réflectivité de la voile est $R=0.9$. Quelle est la surface $S$ de la voile requise pour que la force de radiation compense exactement la force de gravitation du Soleil ? [1 т.]

3.c) Pour un matériau de densité volumique typique $\rho=1\ kgm^{-3}$, la valeur de $S$ obtenue dans la question précédente vous semble-t-elle réaliste ? [2 т.]

3.d)* En réalité, lorsqu’on lance la voile à partir de l’orbite de la Terre, il n’est pas nécessaire de compenser l’attraction du Soleil. Pourquoi ? Expliquez comment une voile solaire, même avec une surface beaucoup plus faible, peut servir pour des voyages interplanétaires. [3 т.]

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