Балкански 2008, Теория — Задача 1. De l'eau plate!

Concours Général de Physiques « Minko Balkanski » — 17 Mai 2008 · 17 май 2008 г.

Бележка от източника

Le problème est les trois exercices sont entièrement indépendants et peuvent être traités dans n’importe quel ordre.

La clarté et la précision de la rédaction, qui doit être en français ou en anglais, seront prises en compte dans la note finale.

La durée de la composition est de 4 heures! Les calculatrices sont autorisées.

Условие

L’objectif des questions de cet exercice est d’obtenir des valeurs numériques. Une formule analytique exprimant le résultat en fonction des grandeurs physiques du problème est bien sûr attendue, mais cette formule n'est qu'un intermédiaire.

La tension superficielle, ou énergie d'interface, ou énergie de surface est définie comme l’énergie par unité de surface :

dE=γ⋅dSdE=\gamma\cdot dS

Cet effet permet par exemple aux insectes de marcher sur l'eau et explique la capillarité. La tension superficielle explique aussi la formation des bulles de savon.

Ici on ne prendra pas en compte l'interaction entre le liquide et la surface sur laquelle il est posé. On supposera que le liquide ne mouille pas la surface et que la face inférieure de la goutte est une interface liquide - air. Cette situation est observée dans le cas d'une goutte d'eau sur une plaque chauffante («caléfaction») ou sur une surface hydrophobe et rugueuse (plumes de canard, feuille de lotus, etc.)

Coupe d’une petite goutte sphérique d’eau dans l’air; rayon R indiqué depuis le centre.
Coupe d’une grande goutte aplatie, air au-dessus, eau dans la flaque; épaisseur e et rayon r indiqués.
Photo de gouttes de mercure posées sur du verre, de tailles croissantes.
FIG. 1: Gouttes de mercure de différents volumes posées sur du verre (photo issue de «Hydrodynamique physique» de Guyon, Hulin et Petit.). La plus petite goutte a un diamètre d'environ 2 mm.

1. Longueur capillaire.

a) Quelle est la dimension de γ\gamma (nommée tension superficielle)?

b) Construire à partir de γ\gamma, ρ\rho (densité volumique) et g (accélération de pesanteur) une grandeur lcl_c ayant la dimension d'une longueur. On appellera dans la suite cette longueur lcl_c «longueur capillaire».

c) Quelle est la longueur capillaire de l'eau? γeau=7×10−2SI\gamma_{eau}=7\times10^{-2}SI

2. Les petites gouttes.

a) Soit une goutte sphérique, donner l'expression de l'énergie de surface et de l'énergie de gravitation en fonction du rayon de la goutte (R), l’accélération de pesanteur (g) et la densité volumique de l’eau (ρeau\rho_{eau}).

b) Quelle est la condition sur la taille de la goutte pour que sa forme soit essentiellement dictée par la capillarité?

3. Les grosses gouttes.

Ici la goutte est suffisamment volumineuse pour prendre la forme d'une flaque aplatie par la gravité (épaisseur ee et rayon rr, avec r≫er\gg e).

a) Donner une estimation de la surface totale de la goutte, de l'énergie de surface et de l'énergie de gravitation, en fonction de rr, ee, ρ\rho,g et γ\gamma.

b) En minimisant l'énergie totale, déterminer l'épaisseur de la flaque.

4. Donner la relation entre le volume VV de la goutte et son diamètre apparent dd vu de dessus dans le cas des petites gouttes et des grosses gouttes. Tracer l'allure de log⁡(d)=f(log⁡(V))\log(d)=f(\log(V)).

5. À partir de la figure 1, estimer la longueur capillaire, puis la tension de surface du mercure.

Решение

Внимание: Непълно решение

Официално решение не е налично в източника.

Теми и трудност

Оценена трудност: 4/5.

Флуиди · Механика · Повърхностно напрежение и капилярност · Гравитация

Предпоставки: Гимназиална подготовка

Оригинал в Архива: CGP_2008_fr.pdf