Балкански 2011, Теория — Задача 1. Transformée de Fourier, Interférence et Traitement des Images (Filtrage des Fréquences Spatiales)

Concours Général de Physique “Minko Balkanski”

Внимание: Бележка към темата

No official solution file is supplied or present in the inspected archive folder, despite the source cover announcing later web publication. No solution or answer has been invented. The file and catalog identify 2011, but the cover prints 15 mai 2010; catalog year 2011 is retained with this discrepancy recorded. This bilingual PDF includes French and English versions of the same two problems. This candidate transcribes the French version and shared appendix; English pages were read but their repeated statements are not duplicated. Printed appendix errors are preserved: the power integral denominator n, i²=1, sin(ix) in Euler’s formula, and dU=dQ−p dS. The printed Unruh prefactor 1/6 is also retained.

INSTITUT DES HAUTES ETUDES — Première partie : Français

POUR LE DÉVELOPPEMENT DE LA CULTURE, DE LA SCIENCE ET DE LA TECHNOLOGIE EN BULGARIE

http://www.iheb.org/

15 mai 2010

Прочетете внимателно!

Част първа и част втора съдържат условията на двете задачи съответно на френски и английски език. Част трета съдържа фигурите използвани за онагледяване на въпросите и помощни таблици. Единствените външни документи, на които имате право са френски и английски речници.

При оценяването на задачите голяма тежест ще имат яснотата и стилът на изложените решения и аргументация. Не използвайте излишна проза в аргументите си, бъдето точни и кратки. Използването на схеми за онагледяване на разсъжденията Ви е желателно. Пишете само на езика, който сте избрали (френски или английски).

При намиране на грешка в условията на задачите отбележете я в работата си и продължете без да повдигате въпроси към квесторите.

Решенията ще бъдат изложени на сайта на Фондация Миню Балкански в деня на състезанието. Класирането ще бъде изложено също там месец по-късно. Ако имате въпроси и коментари можете да ги насочите към krastanov.stefan@gmail.com. Обсъждане на решенията ще е възможно на shkolata.org. С първенците ще се свържем чрез e-mail или по телефон. Бъдете сигурни да попълните правилно информацията за контакт.

Разполагате с 4 часа. Успех!

Условие

Le phénomène d’interférence est lié à l’opération mathématique appelée transformée de Fourier. Dans ce problème on va essayer de retrouver un sous-ensemble intéressant des propriétés de cette opération en utilisant des idées de base concernant l’interférence. Alors connaissance antérieure sur la transformée de Fourier n’est pas nécessaire. Pour ceux qui s’intéresse plus d’information peut être trouver dans [Fisher et al., 1996].

On va voir comment utiliser l’interférence dans le filtrage des fréquences spatiales d’une image (comment obtenir à partir d’une image contenant des motifs répétitifs une autre image ne contenant que certains motifs).

1.1 Réseau de Diffraction

Dans cette partie on va s’intéresser par le phénomène d’interférence observé avec un réseau de diffraction.

1.1.1 Figure de Diffraction à l’infinie

Décrire un réseau de diffraction.

Un réseau de diffraction parfait est un réseau avec des fentes beaucoup plus petites que la distance entre deux fentes. Quelles sont les conséquences de cette approximation ?

Considérons un laser vert comme source de lumière cohérente monochromatique de λ=550 nm\lambda=550\ nm et un réseau de diffraction parfait (c.f. fig 1a). Quelle doit être l’orientation du réseau pour avoir une figure de diffraction paramétrée par l’angle θ\theta ?

Où est-ce qu’on observe la figure de diffraction au mieux ? Pourquoi ?

Donner une expression pour l’amplitude de la lumière en fonction de θ\theta, la distance aa entre les fentes du réseau, NN le nombre des fentes et autre paramètres convenables.

Où sont les maxima d’intensité en fonction de θ\theta ?

Question bonus : Pourquoi on utilise des réseaux de diffraction dans les laboratoires et non pas des fentes doubles même si les fentes doubles sont plus faciles à construire ?

Laser et réseau de diffraction : (a) observation sous l’angle theta ; (b) écran avec coordonnée x.
Figure 1

1.1.2 Visualisation sur l’écran

On veut observer la figure de diffraction sur un écran (c.f. fig 1b). Où doit-on mètre une lentille convergent f=100 cmf=100\ cm ? Pourquoi ?

Où sont les maxima (paramétrés par xx) ? Quelle type de réseau doit être utilisé pour obtenir des maxima séparés par 1 mm1\ mm ? Pour 5 mm5\ mm ?

1.1.3 Interférence par la figure de diffraction

On s’intéresse par l’obtention d’interférence en utilisant comme source la figure de diffraction elle-même construite dans 1.1.2.

Observations : Comment peut-on créer une image (de grandissement unitaire) d’un objet dans l’approximation d’optique géométrique en utilisant une lentille convergente de f=100 cmf=100\ cm ?

1 Qu’est-ce qu’on observe sur l’écran si notre objet est l’un des réseaux de diffraction de 1.1.2 ?

2 Qu’est-ce qu’on observe si on déplace l’écran à une distance de 100 cm100\ cm de la lentille ?

Explication : Nous expliquons les deux dernières observations avec le fait que l’image peut être interprétée comme le résultat d’interférence à partir de la figure de diffraction elle-même¹. Pour simplifier le problème on considère que les maxima sont des sources ponctuelles de lumière cohérente et que entre eux il n’y a pas des sources². Pour aider dans la compréhension on va appeler la figure de diffraction créée par le réseau de diffraction la figure primaire. La figure créée par l’interférence à partir de la figure primaire va s’appeler la figure secondaire³.

Qu’est-ce qu’on va observer comme image (figure secondaire) selon ces simplifications (considérons un nombre fini des maxima dans la figure primaire⁴) ? Comparer les résultats avec les prévisions des questions précédentes (la construction géométrique dans la section « Observations ») ? Quel sont les artefacts crées par l’approximation ?

On place un écran opaque sur la figure primaire. Dans l’écran il y a une ouverture qui ne laisse passer que le maximum central. Qu’est ce qu’on observe dans ce cas ?

¹ La figure de diffraction est considérée comme la source de lumière. Nous oublions le réseau de diffraction qui a créé la figure premièrement.

² Les deux approximations ne sont pas rigoureusement correctes (les maxima ont des dimensions finies et l’intensité dans l’espace entre les maxima n’est pas nulle). De plus on néglige la question de la phase.

³ Ces conventions de nomenclature ne sont pas universelles.

⁴ Il n’y a pas besoin de vous occuper avec le nombre des maxima dans la figure primaire. Fixer le à une constant nn.

1.2 Diffraction par deux réseaux superposes

Imaginons la superposition des deux réseaux de 1.1.2. Les fentes qui coïncide emmètrent deux fois la radiation d’une seule fente. Le nombre des fentes est tel que les réseaux ont les mêmes dimensions. Le réseau avec a=0.55 mma=0.55\ mm a N=100N=100 fentes. Combien des fentes a l’autre réseau ?

1.2.1 La figure de diffraction

Donner l’amplitude après les réseaux en fonction d’angle.

Caractériser les maxima dans la figure de diffraction (observés sur un écran en utilisant la même lentille f=100 cmf=100\ cm).

1.2.2 L’image (la figure de diffraction secondaire crée par l’interférence à partir de la figure primaire)

Qu’est-ce qu’on va observer sur l’écran dans la configuration de 1.1.3 ? Expliquer en utilisant la méthode discutée dans 1.1.3 (interférence secondaire à partir de la figure primaire).

1.2.3 Filtrage de la fréquence élevée

On place un écran opaque sur la figure de diffraction primaire. L’écran a une ouverture qui ne laisse que 4 maxima voisins passer. Qu’est-ce qu’on observe sur l’écran ?

1.3 Filtrage d’une plume

Considérons une plume. Elle est composée d’une poutre centrale (le rachis), qui est support pour des poutres secondaires (les barbes), qui sont des supports pour les barbules (des filaments excrément petits) (fig 2). Considérons la distance entre les barbules égale à 0.01 mm0.01\ mm. Décrire un montage optique complet qui donne une image de la plume (de grandissement unitaire) ne contenant pas les barbules. Spécifier les dimensions (ne donner que des ordres de grandeur).

Photographie d’une plume de pintade et schéma de sa structure.
Figure 2 : source Wikimedia Commons

1.4 Anticrénelage

L’image dans fig 3 est crénelée. Quelle est la cause ?

Considérons une webcam. Le capteur a des pixels rectangulaires des largeur 5 μm5\ \mu m. La distance entre l’objective est le capteur est fixée b=1 cmb=1\ cm Comme c’est une caméra à bas prix la distance focale est fixe pour avoir des objets a une distance de 1 m1\ m. Qu’est-ce on doit faire pour veiller à l’absence de crénelage ?

Photographie d’un mur de briques montrant le crénelage.
Figure 3: Aliasing - the wavy pattern at the rigth bottom end of the brick wall, Wikimedia Commons
Troisième partie — Annexe — Tables des formules

Séries :

∑i=0nai=1−an+11−a\sum_{i=0}^{n}a^i=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}

Trigonométrie :

sin⁡(a+b)=sin⁡(a)cos⁡(b)+sin⁡(b)cos⁡(a) ;cos⁡(a+b)=cos⁡(a)cos⁡(b)−sin⁡(a)sin⁡(b).\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)\ ;\quad\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b).

Intégrales :

∫xn dx=xn+1n+C ;∫dxx=ln⁡(x)+C ;∫exp⁡(ax) dx=exp⁡(ax)a+C ;\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n}+C\ ;\quad\int\frac{dx}{x}=\ln(x)+C\ ;\quad\int\exp(ax)\,dx=\frac{\exp(ax)}{a}+C\ ;
∫sin⁡(ax)=−cos⁡(ax)a+C ;∫cos⁡(ax)=sin⁡(ax)a+C.\int\sin(ax)=-\frac{\cos(ax)}{a}+C\ ;\quad\int\cos(ax)=\frac{\sin(ax)}{a}+C.

Complexes :

ı2=1 ;exp⁡(ıx)=cos⁡(x)+ısin⁡(ıx) ;(x+ıy)‾=(x−ıy) ;\imath^2=1\ ;\quad\exp(\imath x)=\cos(x)+\imath\sin(\imath x)\ ;\quad\overline{(x+\imath y)}=(x-\imath y)\ ;
∥x+ıy∥=(x+ıy)(x+ıy)‾=(x+ıy)(x−ıy)=x2+y2.\lVert x+\imath y\rVert=\sqrt{(x+\imath y)\overline{(x+\imath y)}}=\sqrt{(x+\imath y)(x-\imath y)}=\sqrt{x^2+y^2}.

Thermodynamique : 1. principe dU=dQ−pdSdU=dQ-pdS ; entropie dS=dQTdS=\frac{dQ}{T}.

Références

[Bekenstein, 1973] Bekenstein, J. D. (1973). Black holes and entropy. Physical Review D, 7(8) :2333–2346.

[Fisher et al., 1996] Fisher, R., Perkins, S., Walker, A., and Wolfart, E. (1996). Hypermedia image processing reference. Wiley.

[Kobakhidze, 2010] Kobakhidze, A. (2010). Gravity is not an entropic force. Arxiv preprint arXiv :1009.5414.

[Mäkelä, 2010] Mäkelä, J. (2010). Notes concerning" on the origin of gravity and the laws of newton" by e. verlinde (arxiv :1001.0785). Arxiv preprint arXiv :1001.3808.

[Verlinde, 2010] Verlinde, E. (2010). On the origin of gravity and the laws of newton. Arxiv preprint arXiv :1001.0785.

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Оптика · Дифракция и разделителна способност · Интерференция на светлината · Лещи и образи

Предпоставки: Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: CGP_2011.pdf