Балкански 2012, Теория — Задача 1. Gouttes chargées

Concours Général de Physique “Minko Balkanski” · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

No official solution is supplied or present in the inspected archive folder; no answers or solutions have been invented. The source prints copper resistivity as 1.7×10^8 Ω·m (positive exponent); it is retained rather than silently corrected. The printed gamma subscript hile and spelling Millican are also retained.

INSTITUT DES HAUTES ÉTUDES

POUR LE DÉVELOPPEMENT DE LA CULTURE, DE LA SCIENCE ET DE LA TECHNOLOGIE EN BULGARIE

http://www.iheb.org/

6 Mai 2012

Le problème et les deux exercices sont entièrement indépendants et peuvent être traités dans n’importe quel ordre.

La clarté et la précision de la rédaction, qui doit être faite en français ou en anglais, seront prises en compte dans la note finale.

La durée de la composition est de 4 heures. Les calculatrices sont autorisées.

Valeurs Numériques :

GrandeurValeur
Tension de surface de l’huileγhuile=32⋅10−3 N⋅m−1\gamma_{huile}=32\cdot10^{-3}\ N\cdot m^{-1}
Permittivité diélectrique du videϵ0=8,85⋅10−12 m−3⋅kg−1⋅s4⋅A2\epsilon_0=8,85\cdot10^{-12}\ m^{-3}\cdot kg^{-1}\cdot s^4\cdot A^2
Charge de l’électrone=−1,6⋅10−19 Ce=-1,6\cdot10^{-19}\ C
Pression atmospericP0=1,013⋅105 PaP_0=1,013\cdot10^5\ Pa
Constante des gaz parfaitsℜ=8,31 J⋅K−1⋅mol−1\Re=8,31\ J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}
Constante d’AvogadroNa=6,02⋅1023 mol−1Na=6,02\cdot10^{23}\ mol^{-1}
Vitesse de la lumière dans le videc=3,0⋅108 m⋅s−1c=3,0\cdot10^8\ m\cdot s^{-1}
Champ magnétique terrestreBT=44,5 μTB_T=44,5\ \mu T
Masse volumique du cuivreρCu=8,9⋅103 kg⋅m−3\rho_{Cu}=8,9\cdot10^3\ kg\cdot m^{-3}
Résistivité du cuivreσCu=1,7⋅108 Ω⋅m\sigma_{Cu}=1,7\cdot10^8\ \Omega\cdot m
Angle entre BTB_T et l’horizonαBT=64∘\alpha_{B_T}=64^\circ
Deuxième partie — Exercices (10pts)

Rotation d’une spire mince (5pts) ; Utilisation d’une pompe (5pts).

Условие

En 1909, Robert Millican mesura la charge de l’électron pour la première fois, en étudiant des gouttes d’huile chargées. Pour cela, il observa les vitesses de déplacement de ces gouttes dans un champ électrique statique : il put mesurer les forces subies, et prouva que les charges sont bien des multiples d’une charge ee, qu’il identifia à la charge élémentaire de l’électron.

Dans ce problème, nous cherchons à estimer dans quelle mesure un brouillard de gouttes d’huile chargées est stable. Nous considérons deux types d’énergies potentielles, une liée à la charge de la goutte (énergie électrostatique) et l’autre à la surface de la goutte (énergie de tension de surface). Cette dernière s’écrit Esurf=SγhileE_{surf}=S\gamma_{hile}, avec SS la surface de la goutte et γhuile\gamma_{huile} la tension de surface de l’hile.

1 Critère de stabilité

On étudie une goutte chargée de fluide, en suspension dans l’air.

1 Comment les charges sont-elles distribuées ? Qu’arrive-t-il si la goutte est suffisamment chargée ? [1 т.]

2 Calculer l’énergie totale EtotaleE_{totale} de la goutte. [2 т.]

3 Que vaut la pression PP dans la goutte ? [1 т.]

4 Montrer alors que si la goutte est petite et sa charge grande, elle tend à éclater. Proposer un critère de stabilité. [1 т.]

2 Fragmentation d’une goutte

Dans la partie précédente, nous avons approximé les gouttes à des particules sphériques, néanmoins quand leur rayon devient petit, les forces déforment la goutte. Dans cette partie, nous cherchons à mieux modéliser l’instabilité existante, pour ce faire nous utiliserons une méthode énergétique. Quand une goutte est instable, elle se fragmente en plusieurs gouttelettes plus petites. Nous cherchons à connaitre le nombre, les tailles et les charges de ces gouttelettes. Pour simplifier, on se restreindra toujours au cas de gouttelettes sphériques.

1 Quelles sont les quantités conservées ? Ecrire les relations de conservation. [0,5 т.]

2 Ecrire l’énergie totale du système Etotal(S)E_{total}^{(S)}. [0,5 т.]

3 Montrer que la configuration qui minimise l’énergie est telle que la charge de chaque gouttelette créée est proportionnelle à son rayon, et que ces gouttelettes ont toutes la même taille et la même charge. On pourra traiter les variations des rayons et des charges indépendamment. [2 т.]

4 Donner la taille des gouttes et leur charge, puis leur énergie en fonction du nombre de gouttelettes. [0,5 т.]

5 En déduire le nombre de gouttelettes. [1 т.]

6 On souhaite tenir compte à présent du fait que la charge électrique ne peut être qu’un multiple entier de ee. Application numérique : Quelles est la taille minimale d’une gouttelette de charge ee ? [0,5 т.]

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Електричество · Флуиди · Електростатика · Повърхностно напрежение и капилярност

Предпоставки: Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: CGP_2012_fr.pdf