Балкански 2013, Теория — Задача 1. Au sujet des poutres

1.1 La poutre (8 т.)

Ne considérons que des poutres solides rectangulaires comme dans fig 1a. Les côtes $L$ et $b$ sont beaucoup plus grands que le côte $e$ et le problème est considéré invariant dans la direction $y$. La ligne neutre (en pointilles) est considérée de longueur constante. On note $E$ le module de Young. Les autres notations suivent la figure avec $T$, $N$ et $M$ les forces tangente et normale et le moment des forces appliques par le côte droit sur le côte gauche. On va essayer de retrouver le profile de la poutre en fonction des paramètres. Notons le déplacement selon $z$ comme $\xi(x)$ - une fonction de $x$, et supposons $\xi \ll L$. Considérons dans les questions suivantes un petit segment de longueur $dx$ et rayon de courbure $R$ (c.f. fig 1b).

1. Quelle est la relation entre $R(x)$ et $\xi(x)$ dans l'approximation des petits déplacements (dans ce cas $R$ ne depend que de $\xi''$) ?

2. En considérant une petite segment (fig 1b) calculer $dF(z)$ la force exercée sur un petit surface du segment (rectangle des côtes $dz$ et $b$) par le reste du système.

3. Calculer la force totale $F$ exercée sur la surface droite du segment (la somme de $dF$ sur $z \in [-\frac{e}{2}, +\frac{e}{2}]$).

4. Calculer le moment des forces total $M_F$ exercé sur la surface droite du segment.

5. Donner $N(x)$ et démontrer que $M(x) = -\frac{be^3E}{12R}$.

6. Le calcul de la force totale sur le petit segment nous permet de trouver $\frac{dT}{dx}$. Trouver le.

7. Le calcul du moment des forces total sur le petit segment nous permet de trouver une relation entre $M(x)$ et $T(x)$. Quelle est cette relation ?

8. Montrer que $\frac{d^4\xi}{d^4x} = 0$.

1.2 Force tangentielle sur l'extrémité

1.2.1 Le problème

On applique une force tangentielle $R$ sur l'extrémité droite de la poutre. L'extrémité gauche est fixée (et immobilisée) alors $\xi(0)$ et $\xi'(0)$ sont égales à zéro.

1. Comment doit-on fixer la poutre pour n'avoir que $\xi(0) = 0$ ? [1 т.]

2. Donner $\xi(x)$ dans ce cas (On peut démontrer que la forme générale est $\xi(x) = Ax^2 + Bx^3$). [2 т.]

1.2.2 Application - microscope à force atomique (2 т.)

Le microscope à force atomique mesure la force entre une très petite sonde et les atomes dans l'échantillon à observer. Une modelé simple de la sonde est une poutre. La force interatomique $R$ est appliquée sur l'extrémité. L'autre extrémité est fixée. La force est mesurée à partir du déplacement $\delta$ de la pointe.

1. Donner l'expression pour $\delta$.

2. Les déplacements sont très petits. Proposer une méthode générale (dans une phrase) pour les mesurer.

1.2.3 Application - mesure de la tension superficielle entre deux solides

Considérons une poutre comme dans fig 2. Elle est collée à la surface grâce à la tension superficielle.$^{1}$ La méthodologie suivante était utilisée pour la première mesure de tension superficielle entre solides.

1. Calculer l'énergie élastique dans une poutre de longueur $h_1$ fixée à une extrémité quand l'autre extrémité est déviée à une distance $\delta$. [2 т.]

2. Trouver $\sigma$ pour que la poutre de longueur $L$ soit en équilibre pour une deviation $\delta$ et une longueur de contact $h_2$. [2 т.]

3. Bonus : Retrouver le résultat en fixant la force dans le cas equivalent :

(a) Calculer l'énergie élastique dans une poutre de longueur $h_1$ fixée à une extrémité et subissant une force $R$ à l'autre extrémité. [0 т.]

(b) Trouver $\sigma$ pour que la poutre de longueur $L$ soit en équilibre pour une force $R$ et une longueur de contact $h_2$. [2 т.]

$^{1}$ Pour une tension superficielle $\sigma$ entre deux surfaces l'énergie de cohésion et $\sigma S$ avec $S$ - l'aire commune.