Балкански 2016, Теория — Задача 1. Mouvement d'une bille dans une cuve

Concours Général de Physique “Minko Balkanski” · 15 май 2016 г. · 10 т.

Прочетете внимателно!

Част първа и част втора съдържат условията на задачите съответно на френски и английски език. Единствените външни документи, на които имате право са френски и английски речници. Ако желаете, можете да ползвате калкулатори.

При оценяването на задачите голяма тежест ще имат яснотата и стилът на изложените решения и аргументация. Не използвайте излишна проза в аргументите си, бъдете точни и кратки. Използването на схеми за онагледяване на разсъжденията Ви е желателно. Пишете само на езика, който сте избрали (френски или английски).

При намиране на грешка в условията на задачите отбележете я в работата си и продължете без да повдигате въпроси към квесторите.

Класирането ще бъде изложено на сайта http://balkanski-foundation.org/ в началото на месец юни. Ако имате въпроси и коментари можете да ги насочите към svilen.iskrov@gmail.com. С първенците ще се свържем чрез e-mail или по телефон. Бъдете сигурни да попълните правилно информацията за контакт.

Разполагате с 4 часа. Успех!

Условие

Un point matériel MM de masse mm dans le référentiel du laboratoire est solidaire d'une cuve circulaire (de centre OO et de rayon RR) sur laquelle il peut glisser sans frottement. Il est fixé en un point BB du plan horizontal par l'intermédiaire d'un élastique modélisé par un ressort de raideur kk et de longueur à vide l0l_0. Le bord de la rigole est à la distance l0l_0 du point BB.

Demi-cercle (cuve) de centre O avec l'axe vertical z en pointillés ; le point M sur la cuve est relié par un ressort au bord A de la cuve, puis un second ressort horizontal va de A au point B ; l'angle θ entre la verticale et OM, l'angle θ/2 et la distance l0 entre A et B sont indiqués.
Figure 1 : Bille dans une cuve

1.1 Application de la relation fondamentale de la dynamique

1. Faire le bilan des forces s'exerçant sur le point matériel.

2. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique.

3. Montrer que θ\theta vérifie l'équation différentielle :

θ¨+kmsin⁡(θ)−gRcos⁡(θ)=0\ddot{\theta} + \frac{k}{m}\sin(\theta) - \frac{g}{R}\cos(\theta) = 0

4. Exprimer la réaction normale NN en fonction de θ(t)\theta(t) et de ses dérivées temporelles.

1.2 Analyse énergétique

1. En introduisant HH, le projeté du point O sur la droite (AM)(AM), donner une expression de l'allongement X=l−l0X = l - l_0 du ressort en fonction de RR et de θ2\frac{\theta}{2}.

2. Donner l'expression des différentes énergies potentielles intervenant dans le problème, en fonction de θ(t)\theta(t) .

3. Déterminer à partir des énergies potentielles la position d'équilibre θ0\theta_0.

4. Retrouver l'équation différentielle donnant l'évolution de θ\theta au cours du temps à l'aide d'un raisonnement énergétique.

1.3 Mouvement autour de la position d'équilibre

Dans le cadre des petites oscillations, on pose θ(t)=θ0+ε(t)\theta(t) = \theta_0 + \varepsilon(t), avec ε(t)≪θ0\varepsilon(t) \ll \theta_0.

1. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par ε(t)\varepsilon(t). On utilisera les approximations suivantes : pour x≪1x \ll 1, on a cos⁡(x)≃1\cos(x) \simeq 1 et sin⁡(x)≃x\sin(x) \simeq x.

2. Quelle est la période de ces petites oscillations ?

On ne suppose plus les oscillations petites.

3. Tracer l'énergie potentielle totale Ep tot(θ)E_{p\,tot}(\theta) en prenant pour échelle 5 cm5\ \mathrm{cm} pour 0,125 J0{,}125\ \mathrm{J}, en ordonnée, et 4 cm4\ \mathrm{cm} pour 30∘30^{\circ},en abscisse. Valeurs numériques : m=50 gm = 50\ \mathrm{g}, g=10 m.s−2g = 10\ \mathrm{m.s^{-2}}, k=2 N.m−1k = 2\ \mathrm{N.m^{-1}} et R=25 cmR = 25\ \mathrm{cm}.

4. En lâchant la bille sans vitesse initiale depuis le point AA, déterminer graphiquement les positions extrêmes atteintes lors du mouvement. On explicitera le raisonnement.

Решение

Внимание: Непълно решение

Les solutions officielles ne figurent pas dans l'archive.

Оригинал в Архива: CGP_2016.pdf