Балкански 2016, Теория — Задача 3. Conduction dans le germanium et l'effet Hall

3.1 Vitesse limite

Un électron, de charge $-e$, de masse $m$, est émis avec une vitesse initiale nulle dans une région de l'espace où règne un champ électrique uniforme et constant $\overrightarrow{E}_0$. L'électron est, en outre, soumis à l'action d'une force de frottement (de type fluide) due à l'action du milieu dans lequel il se déplace :

Son mouvement est décrit dans un référentiel galiléen $(O,x,y,z)$, de base $(\overrightarrow{u_x},\ \overrightarrow{u_y},\ \overrightarrow{u_z})$ dans lequel $\overrightarrow{E}_0 = E\overrightarrow{u_x}$. On néglige l'action de la pesanteur.

1. Écrire l'équation différentielle du mouvement de l'électron. Quelle est l'unité de la constante $\tau$ ?

2. Donner l'expression du vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$ en fonction du temps.

3. Montrer qu'il tend vers une limite $\overrightarrow{v}_\infty$ que l'on exprimera.

4. Exprimer le temps au bout duquel l'électron atteint cette vitesse limite à $1\%$ près.

3.2 Résistivité électrique

Le germanium est un bon isolant électrique. Lorsqu'on introduit des impuretés en très faible concentration, par exemple de l'antimoine $(Sb)$, la conductivité électrique du germanium augmente fortement : on obtient un semi-conducteur « dopé », noté $Ge : Sb$ dont les propriétés électriques dépendent à la fois du nombre d'atomes $Sb$ introduits par unité de volume, $N$, et de la température $T$. On propose le modèle suivant de conduction dans le germanium dopé : dans $Ge$ pur, tous les électrons sont engagés dans des liaisons chimiques et ne peuvent participer à la conduction électrique. On suppose que lorsqu'on dope $Ge$ par $Sb$, à raison de $N$ atomes de $Sb$ par unité de volume, à température ambiante, chaque atome $Sb$ « libère » un électron du réseau cristallin. Sous l'action d'un champ électrique uniforme $\overrightarrow{E}_0$, les charges libres sont animées d'un mouvement de vitesse $\overrightarrow{v}$. On modélise l'action des atomes ou des ions du réseau sur ces charges par une force de frottement du type précédent.

1. Exprimer, en régime permanent, le vecteur densité de courant $\overrightarrow{j}$. En déduire l'expression de la résistivité électrique $\rho_e$ de $Ge : Sb$ en fonction de $m$, $N$, $e$ et $\tau$ .

2. On mesure la résistivité $\rho_e = 1{,}22.10^{-2}\ \Omega.\mathrm{m}$ pour un échantillon de « concentration » $N = 1{,}6.10^{21}\ \mathrm{m^{-3}}$. Calculer le nombre d'atomes de germanium par $m^3$ d'échantillon. En déduire le taux d'atomes d'antimoine, c'est-à-dire le nombre d'atomes de $Sb$ par atome de $Ge$. Calculer $\tau$ dans le cadre du modèle précédent. Que pensez-vous du résultat obtenu à la question 3.1.2 ?

Données : $N_A = 6{,}02.10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$, $e = 1{,}6.10^{-19}\ \mathrm{C}$, $m = 9{,}1.10^{-31}\ \mathrm{kg}$, $M = 72{,}6\ \mathrm{g.mol^{-1}}$, $\mu = 5{,}32.10^{3}\ \mathrm{kg.m^{-3}}$.

3.3 Effet Hall

On s'intéresse maintenant à la conduction électrique de l'échantillon de $Ge : Sb$, étudié précédemment, dans un champ électrique et un champ magnétique croisés. On se replace dans le cadre du modèle décrit à la question 3.2. On découpe $Ge : Sb$ sous forme d'un ruban de longueur $L = 20\ \mathrm{mm}$ parallèle à l'axe $(Ox)$, de section rectangulaire de largeur $l = 1\ \mathrm{mm}$ parallèle à $(Oy)$ et d'épaisseur $d = 0{,}2\ \mathrm{mm}$ parallèle à $(Oz)$. Un générateur de courant délivrant un courant d'intensité constante $I_0$ disposé en série suivant la ligne de plus grande longueur crée un champ électrique uniforme $\overrightarrow{E}_0$ d'axe $(Ox)$. On place l'échantillon dans un champ magnétique $\overrightarrow{B}_0$ constant d'axe $(Oz)$ colinéaire à l'épaisseur.

1. Montrer que $E_0 = \frac{\rho_e I_0}{ld}$.

2. Montrer qualitativement que la vitesse de dérive des électrons libres entraîne l'apparition d'une distribution de charges sur les bords du matériau. Cette distribution crée alors un champ électrique $\overrightarrow{E}_1$ , considéré comme uniforme, colinéaire à l'axe $(Oy)$.

3. En régime permanent, les conditions aux limites du matériau imposent que le vecteur densité de courant $\overrightarrow{j}$ soit colinéaire à l'axe de plus grande longueur $(Ox)$. Écrire l'équation du mouvement d'un électron libre. En déduire l'expression du champ $\overrightarrow{E}_1$ en fonction des données de l'exercice.

4. Calculer la différence de potentiel $V_1$ (donnée par $V_1 = -E_{1y}l$) que l'on peut mesurer entre les deux bords de l'échantillon, de part et d'autre de sa largeur, pour $I_0 = 10\ \mathrm{mA}$ et $B_0 = 0{,}1\ \mathrm{T}$. Quelle application voyez-vous du phénomène étudié ?