Балкански 2017, Теория — Задача 1. Problème I

Concours Général de Physique “Minko Balkanski” — 14 Mai 2017 · 14 май 2017 г.

Прочетете внимателно!

Част първа и част втора съдържат условията на задачите съответно на френски и на английски език. Единствените външни документи, на които имате право са френски и английски речници. Ако желаете, можете да ползвате калкулатори. При оценяването на задачите голяма тежест ще имат яснотата и стилът на изложените решения и аргументация. Не използвайте излишна проза в аргументите си, бъдете точни и кратки. Използването на схеми за онагледяване на разсъжденията Ви е желателно. Пишете само на езика, който сте избрали (френски или английски).

При намиране на грешка в условията на задачите отбележете я в работата си и продължете без да повдигате въпроси към квесторите.

Класирането ще бъде изложено на сайта http://balkanski-foundation.org/ месец по-късно. Ако имате въпроси и коментари можете да ги насочите към svilen.iskrov@google.com. С първенците ще се свържем чрез e-mail или по телефон. Попълнете правилно информацията за контакт.

Разполагате с 4 часа. Успех!

Условие

Le rayon de la Terre $R = 6400\mathrm{km}$ et l’accélération gravitationnelle au niveau du sol $g = 9{,}8\mathrm{m.s^{-2}}$ sont connus. Un satellite de masse $m = 500\mathrm{kg}$ est lancé depuis la Terre. Son orbite est circulaire d’altitude $r_0 = 400\mathrm{km}$.

1. Déterminez sa vitesse $v_0$, sa période de révolution autour de la Terre $T_0$ et son énergie mécanique $E_{\mathrm{m}}$.

Suite à une erreur de lancement, l’orbite du satellite n’est pas parfaitement circulaire. L’appareil est abandonné en $M_0$, tel que $OM_0 = r_0$, où $O$ est le centre de la Terre et $r_0$ est le rayon de l’orbite désirée. Sa vitesse est de norme $v_0$, mais faisant un angle $\alpha$ avec la tangente de l’orbite circulaire (Fig.2).

2. Quelle est la nature géométrique de la trajectoire du satellite ? Expliquez votre raisonnement.

3. Expliquez pourquoi le moment cinétique est conservé lors du mouvement du satellite et l’utilisez pour exprimer l’énergie mécanique du satellite en fonction de $r$, $\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} = v_{\mathrm{r}}$, $m$, $g$, $R$, $r_0$, $v_0$ et $\cos(\alpha)$.

4. En déduire $r_{\min}$ (resp. $r_{\max}$) – la distance minimale (resp. maximale) entre la Terre et le satellite en fonction des paramètres du problème.

5. Calculez $T_1$ – la période de révolution du satellite autour la Terre et la comparez à $T_0$. Etait-ce prévisible ?

6. Expliquez en détail (et avec calculs) quelles corrections à la trajectoire on peut faire pour conduire le satellite à suivre l’orbite circulaire de départ, sachant que le satellite est équipé d’un moteur.

Решение

Des maths utiles :

$\ln(2) = 0{,}7$ ; $2^{-\frac{1}{3{,}5}} = 0{,}82$ ; $0{,}2^{0{,}25} = 0{,}67$ ; $\left(\frac{0{,}4}{1{,}8}\right)^{0{,}25} = 0{,}69$ ; $(\frac{0{,}4}{2{,}1})^{0{,}25} = 0{,}66$.

Les solutions de $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \alpha y$ sont de la forme $y(x) = \mathrm{Const}.e^{\alpha x}$.

Les solutions de $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\alpha y}{1-\beta x}$ sont de la forme $y(x) = \mathrm{Const}.(1 - \beta x)^{\gamma}$, avec $\gamma$ fonction de $\alpha$ et de $\beta$.

——— FIN DE L’ENONCE ———

---

Оригинал в Архива: CGP_2017.pdf