Балкански 2017, Теория — Задача 4. Problème IV

Partie 1 - Modèles de l’atmosphère

Atmosphère isotherme

Supposons, dans un premier temps, que l’atmosphère est isotherme - sa température est constante et uniforme $T_0 = 290\mathrm{K}$.

1. Exprimez la densité de l’air en fonction de $P$, $R$, $T_0$ et $M_{\mathrm{a}}$.

2. Ecrivez la condition d’équilibre hydrostatique de l’air, en prenant l’accélération gravitationnelle $g = 9{,}8\mathrm{m.s^{-2}}$. Intégrez pour trouver la pression en fonction de l’altitude $z$, la pression au niveau du sol $P_0$ et $H = \frac{RT_0}{gM_{\mathrm{a}}}$.

Indication : Considérez une tranche de l’atmosphère d’épaisseur $\mathrm{d}z$ (infinitésimale) et de section $S$.

3. Supposons que l’air atmosphérique est composé de 20% $\mathrm{O}_2$ et de 80% $\mathrm{N}_2$. Calculez les valeurs numériques de $M_{\mathrm{a}}$ et de $H$, expliquez la signification physique de $H$, sachant que l’oxygène est composée de 16 nucléons et l’azote – de 14, et $m_{\mathrm{proton}} \approx m_{\mathrm{neutron}} \approx 1{,}67.10^{-27}\mathrm{kg}$.

Température qui varie linéairement

Tentons d’améliorer le modèle en prenant en compte les variations de la température en altitude. Pour le reste du problème on considère $T(z) = T_0.(1 - \alpha z)$, où $\alpha = \frac{1}{z_0} > 0$ et $z_0 = 30\mathrm{km}$. Cette approximation est valable pour $z < 10\mathrm{km}$.

4. Injectez cette nouvelle loi de variation de la température dans la condition (différentielle) d’équilibre hydrostatique, établie dans question 2. Intégrez et établissez $P(z) = P_0.(1-\alpha z)^{\beta}$ et $\rho(z) = \rho_0.(1-\alpha z)^{\beta-1}$, en donnant la forme explicite de $\beta$ en fonction de $H$ et de $z_0$.

5. En se servant des formules établies aux questions 2 et 4, calculez l’altitude $z_1$ (resp. $z_2$) pour le modèle isotherme (resp. pour le modèle des variations linéaires de la température) pour laquelle la pression est égale à $\frac{1}{2}P_0$. Comparez les deux valeurs. Ce résultat, était-il prévisible ?

Pour la suite du problème, prenons les valeurs numériques suivantes : $\beta = 5$, $T_0 = 290\mathrm{K}$, $z_0 = 40\mathrm{km}$ et $P_0 = 10^5\mathrm{Pa}$.

Partie 2 - Equilibre mécanique de la montgolfière

Dans cette partie du problème on adoptera le dernier modèle de l’atmosphère (avec temperature qui varie linéairement). On note $P_{\mathrm{e}}, T_{\mathrm{e}}$ et $\rho_{\mathrm{e}}$ la pression, la température et la densité de l’atmosphère à l’altitude $z$. La montgolfière est constituée d’une enveloppe de volume intérieur $V_0 = 2000\mathrm{m}^3$ et d’une nacelle où les passagers sont situés (Fig.1). La masse totale de la nacelle, des passagers et de l’enveloppe est notée $m = 500\mathrm{kg}$ et la masse de l’air à l’intérieur de l’enveloppe est notée $m_{\mathrm{i}}$. Ainsi la masse totale du système est $m + m_{\mathrm{i}}$. On note $T_{\mathrm{i}}$ la température et $P_{\mathrm{i}}$ la pression à l’intérieur de l’enveloppe, toutes deux supposées uniformes. On suppose aussi que l’ouverture de l’enveloppe assure que la pression à l’intérieur est égale à la pression atmosphérique, mais on remarque qu’une différence des températures est possible (même nécessaire). On suppose aussi que la composition du gaz reste inchangée lors de la phase d’ascension.

6. Exprimez la masse $m_{\mathrm{i}}$ de l’air chaud contenu dans l’enveloppe en fonction de $T_{\mathrm{i}}, R, M_{\mathrm{a}}, V_0, P_{\mathrm{e}}$, puis en fonction de $\rho_{\mathrm{e}}, V_0, T_{\mathrm{e}}, T_{\mathrm{i}}$.

7. La montgolfière est en équilibre mécanique. Exprimez $m$ en fonction de $m_{\mathrm{i}}, T_{\mathrm{i}}$ et $T_{\mathrm{e}}$.

Indication : À l’équilibre mécanique le poids est compensé par la poussée d’Archimède.

8. On note $z_{\mathrm{m}}$ l’altitude à laquelle la poussée d’Archimède est compensée par le poids $mg$ (et non pas $(m+m_{\mathrm{i}})g$). Exprimez $z_{\mathrm{m}}$ en fonction de $\alpha, \beta, m, \rho_0$ et $V_0$. Calculez sa valeur numérique.

9. On note $T_{\mathrm{d}}$ la valeur minimale de la température $T_{\mathrm{i}}$ permettant le décollage de la montgolfière. Etablissez la relation liant $\frac{m}{\rho_0 V_0}$ et $1 - \frac{T_0}{T_{\mathrm{d}}}$. Calculez la valeur numérique de $T_{\mathrm{d}}$.

10. Etablissez la condition d’équilibre mécanique de la montgolfière suivante :

où $C$ est une constante à déterminer.

Admettons la relation suivante, qui est une conséquence directe de la dernière question,

où $\delta$ signifie une variation infinitésimale.

11. En utilisant les grandeurs réduites $Z = \alpha z$, $Z_{\mathrm{m}} = \alpha z_{\mathrm{m}}$ et $\theta_{\mathrm{i}} = \frac{T_{\mathrm{i}}}{T_0}$, montrez que la condition d’équilibre de la question 7 s’écrit

Exprimez $\theta_{\mathrm{i}}$ en fonction de $Z$, $Z_{\mathrm{m}}$ et $\beta$.

12. Supposons que $\frac{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{i}}}{\mathrm{d}Z}(0)$ est de même signe que $\frac{\beta m}{\rho_0 V_0} - 1$. Tracez rapidement l’allure de $\theta_{\mathrm{i}}(Z)$ pour $\beta m > \rho_0 V_0$ et pour $\beta m < \rho_0 V_0$ et expliquez pourquoi le deuxième cas fait courir un risque pour les passagers (considérez la phase d’atterrissage).

13. Calculez la valeur numérique de $V_{\max}$ - le volume maximal de l’enveloppe, pour lequel $\beta m > \rho_0 V_0$. Pour une valeur $T_{\max} = 380\mathrm{K}$ de la température maximale acceptable pour l’air chaud contenu dans l’enveloppe, calculez $V_{\min}$ - le volume minimal de l’enveloppe que permet le décollage. Calculez $z_{\mathrm{m}}$ pour les deux volumes.