Балкански 2021, Теория — Задача 2. Propulsion d'un sous-marin

Moteur de Stirling

Le moteur de Stirling a été développé au XIXe siècle et a rapidement été délaissé au profit des moteurs à combustion interne (à essence et diesel). Il pourrait cependant connaître un essor significatif dans le futur compte-tenu, entre autres, des avantages qu'il présente en matière de protection de l'environnement. La structure du moteur est représentée sur la figure ci-contre.

Dans une enceinte principale, peuvent se mouvoir d'une part un piston de travail et d'autre part un déplaceur, dont le rôle est de transvaser le fluide de travail depuis le volume de compression (zone froide) vers le volume d'expansion (zone chaude) et réciproquement. Lors du transvasement, le fluide parcourt dans un sens ou dans l'autre la chaudière à la température $T_3$, le régénérateur et le refroidisseur à la température $T_1$. Le fluide de travail décrit le cycle constitué des quatre phases suivantes :

• Pendant la phase de compression $1 \to 2$ , le déplaceur se trouve en position haute et le fluide, entièrement situé dans la zone froide, est comprimé par le piston de travail dans sa course vers le haut.
• Au point 2, le piston reste au point mort haut et le déplaceur est ramené en position basse, ce qui a pour effet de transvaser le fluide comprimé, qui passe pendant la phase $2 \to 3$ de la zone froide vers la zone chaude, commençant par se réchauffer dans le régénérateur puis recevant un transfert thermique de la chaudière.
• Pendant la phase de détente $3 \to 4$, le fluide se détend dans le volume d'expansion où il continue d'être chauffé par les tubes de la chaudière. Cette détente a pour effet de repousser le déplaceur et le piston de travail vers le bas.
• Pendant la phase $4 \to 1$, après que le piston a atteint le point mort bas, le déplaceur est ramené en position haute, ce qui a pour effet de transvaser le fluide de la zone chaude (volume d'expansion) vers la zone froide (volume de compression). Au cours de ce transfert, le fluide commence par céder un transfert thermique au régénérateur, puis il est refroidi par le refroidisseur.

En pratique, le régénérateur est un échangeur de chaleur : il reçoit un transfert thermique du gaz chaud dans un sens de circulation, qu'il restitue dans l'autre sens, lorsque le gaz est froid.

Nous étudierons le cycle de Stirling idéal. Au cours de celui-ci, $n$ moles de gaz parfait de rapport de capacités thermiques $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ subissent les évolutions ci dessous.

• compression $1 \to 2$ isotherme réversible à la température $T_1 = 300K$.
• échauffement $2 \to 3$ isochore jusqu'à l'état 3 de température $T_3 = 600K$.
• détente $3 \to 4$ isotherme réversible à la température $T_3$.
• refroidissement $4 \to 1$ isochore jusqu'à l'état 1.

Il n'y a pas de travail autre que celui des forces de pression. On rappelle que la capacité thermique à volume constante s'écrit : $C_v = \frac{nR}{\gamma - 1}$ , où $R$ désigne la constante des gaz parfaits.

1. Faire 4 schémas qui correspondent aux 4 transitions ($1 \to 2$, $2 \to 3$, $3 \to 4$, $4 \to 1$). Chaque schéma sera similaire au celui donné dans l'énonce (Fig.1), mais il montrera les positions du piston de travail et du déplaceur pour la transition en question. Sur chaque figure préciser quelles sont les transformations en cours, mettre en évidence l'amplitude du piston de travail et utiliser des flèches pour indiquer le sens de mouvement de chaque piston.

2. Tracer l'allure du cycle dans un diagramme $(p; V)$ représentant la pression du gaz en fonction de son volume. Comment justifier si le cycle proposé est celui d'un moteur ou d'un récepteur ? Rappeler le premier principe de la thermodynamique qui rélie l'énergie d'un système avec le transfert thermique et le transfert mécanique subi par ce système.

3. Montrer que le travail $W_{12}$ reçu par le fluide au cours de la compression prend la forme $W_{12} = nRT_1 \ln(\rho)$, où $\rho = \frac{V_1}{V_2}$ est le rapport de compression (le rapport de volumes pendant l'étape 1 et 2 respectivement). En déduire le transfert thermique $Q_{12}$ reçu par le fluide au cours de cette compression. Préciser les signes de $W_{12}$ et $Q_{12}$.

4. Exprimer le transfert thermique $Q_{23}$ reçu par le fluide au cours de l'échauffement, en fonction de $n$, $R$, $T_1$, $T_3$ et $\gamma$. Préciser son signe.

5. Exprimer le travail $W_{34}$ reçu par le fluide au cours de la détente, en fonction de $n$, $R$, $T_3$ et $\rho$. En déduire le transfert thermique $Q_{34}$ reçu par le fluide au cours de cette détente. Préciser les signes de $W_{34}$ et $Q_{34}$.

6. Exprimer le transfert thermique $Q_{41}$ reçu par le fluide au cours du refroidissement en fonction de $n$, $R$, $T_1$, $T_3$ et $\gamma$. Préciser son signe. Si le régénérateur est idéal, le transfert thermique qu'il fournit au fluide est $q_{regenerateur} = q_{23} + q_{41}$. Que peut-on en dire ?

7. Les échanges thermiques au cours des évolutions isochores sont internes à la machine. Les seuls échanges thermiques avec l'extérieur ont lieu pendant les phases isothermes. En déduire le rendement $r$ de ce cycle moteur, en fonction de $T_1$ et $T_3$. Faire l'application numérique.

8. Écrire l'expression du rendement $e_C$ de Carnot pour un moteur fonctionnant entre les sources de température $T_1$ et $T_3$. Comparer au rendement $r$ du cycle de Stirling avec régénérateur idéal. On vous rappelle que le cycle de Carnot comporte 2 transformations isothermes et 2 transformations adiabatiques. Il n'est pas nécessaire de démontrer l'expression de $e_C$.

Propulsion nucléaire

Un autre mode de propulsion des sous-marins utilise un réacteur nucléaire, qui fournit de l'énergie grâce à la fission nucléaire de combustible tel que l'uranium (circuit primaire). Cette énergie permet de vaporiser de l'eau, entraînant une turbine, couplée à un alternateur (voir Fig. 2).

Celui-ci produit de l'électricité pour alimenter un moteur électrique faisant tourner l'hélice du sous-marin.

Nous nous intéresserons ici uniquement au circuit secondaire représenté schématiquement en Fig. 3.

L'eau entre dans la pompe sous forme de liquide saturé (état 1), puis est comprimé de façon adiabatique réversible à la pression qui règne dans le générateur de vapeur (GV). En entrant dans le (GV), l'eau se trouve sous forme de liquide, comprimé à la pression $P_2$. Elle en ressort sous forme de vapeur (état 3), à la même pression $P_2$, puis pénêtre dans la turbine où elle se détend de façon adiabatique réversible en entraînant l'arbre de l'alternateur. A la sortie de la turbine (état 4), l'eau est diphasée.

Ce mélange liquide-vapeur est alors liquéfié à pression constante dans le condenseur et en sort dans l'état 1.

9. Les quatre composants de ce cycle (dit cycle de Rankine), soit la pompe, le GV, la turbine et le condenseur, fonctionnent avec un écoulement en régime permanent. L'objectif des questions qui suivent est d'établir l'expression du premier principe dans ce cas. Pour cela, on considère un composant $C$ et on définit le systéme fermé $\Sigma_f$ de la façon suivante :

— à l'instant $t$, $\Sigma_f$ est constitué du fluide contenu dans $C$ et de la masse $dm_e$ de fluide entrant dans $C$ entre t et $t + dt$ ;

— à l'instant $t+dt$, $\Sigma_f$ est constitué du fluide contenu dans $C$ et de la masse $dm_s$ de fluide sortant de $C$ entre $t$ et $t + dt$

(a) Faire un schéma du composant $C$ et le système $\Sigma_f$ aux instants $t$ et $t + dt$.

(b) Justifier très précisément l'égalité $dm_e = dm_s$. On notera dm cette quantité.

(c) On néglige les variations d'énergie cinétique (écoulement lent) et d'énergie potentielle de pesanteur (écoulement horizontal). Établir alors l'écriture suivante du premier principe :

où $\Delta h$ désigne la variation d'enthalpie massique entre l'entrée et la sortie du composant ($h_s - h_e$), $w_u$ le travail massique utile reçu par le fluide de la part des parties mobiles du composant et q représente le transfert thermique massique reçu par le fluide dans le composant.

INDICATION : On rappelle que l'enthalpie est défini par : $H = U + pV$ où $H$ est l'enthalpie, $U$ est l'énergie interne, $p$ est la pression et $V$ est le volume.

Pour répondre à la question il suffira d'écrire le premier principe de la thermodynamique pour le système fermé et de séparer deux terme de travail - travail utile et travail des forces de pression.

On précise que le travail massique utile n'intervient ni dans le générateur de vapeur, ni dans le condenseur et les évolutions au sein de la pompe et de la turbine sont adiabatiques.

10. On utilise le diagramme entropique de l'eau dans lequel la température $T$ est placée en ordonnée et l'entropie massique $s$ en abscisse (fourni en ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE). Dans ce diagramme, quelle est l'allure d'une évolution adiabatique réversible ? Justifier.

11. On donne $P_2 = 50 \cdot 10^5 Pa$, $P_1 = 1.0 \cdot 10^5 Pa$ et $T_3 = 500^{\circ}C$. Les points 1 et 2 correspondant aux états 1 et 2 figurent déjà sur le diagramme $(T; s)$ de l'eau fourni dans le document réponse en fin d'énoncé. Sur ce même diagramme, placer les points 3 et 4 correspondant aux états 3 et 4 du fluide, ainsi que le cycle de Rankine décrit par le fluide.

INDICATION : La transformation $2 \to 3$ s'effectue en 3 étapes - liquide, liquide+vapeur, vapeur. Pour la prémière étape de cette transformation les courbes ne sont pas representées sur le diagramme, alors il est conseillé de finir la représentation du cycle par cette partie qui sera forcement moins précis que les autres.

12. A l'aide du diagramme $(T; s)$, donner les valeurs numériques de $T_1$, des enthalpies massiques $h_3$ et $h_4$ respectivement dans les états 3 et 4, des entropies massiques $s_4$ dans l'état 4, $s_V(T_1)$ de la vapeur saturante à $T_1$ et $s_L(T_1)$ du liquide pur à $T_1$.

13. Déterminer la valeur numérique du titre en vapeur $x_4$ à la sortie de la turbine. On exprimera pour cela $s_4$ en fonction de $x_4$, $s_V(T_1)$ et $s_L(T_1)$.

On donne $h_1 = 440kJ.kg^{-1}$ et $h_2 = 475kJ.kg^{-1}$.

14. A l'aide du premier principe pour les écoulements permanents, déterminer les expressions et les valeurs numériques de $q_{cond}$ et $q_{GV}$ , les transfert thermiques massiques reçus par le fluide, respectivement dans le condenseur et dans le GV.

15. Déterminer les expressions et valeurs numériques des travaux massiques utiles dans la pompe et la turbine, respectivement $w_{pompe}$ et $w_{turb}$. Commenter les résultats obtenus.

16. Une fraction du travail produit par la turbine sert à entraîner la pompe. En déduire le travail massique utile $w_{alt}$ récupérable au niveau de l'alternateur. Donner sa valeur numérique.

17. Définir et calculer numériquement le rendement $\eta$ du cycle de Rankine.

18. Comparer les deux méthodes de propulsion - moteur de Stirling et propulsion nucléaire.

Part II — English: Problem II. Submarine propulsion (6 pts)

Systems governing the propulsion of submarines must be silent, in order to be harder to detect by an adversary, and at the same time must function in an anaerobic fashion - meaning in the absence of air, given that during full submersion fresh air is scarce. Nuclear propulsion is possible solution and is largely used, especially for military purposes. The AIPs (Air Independent Propulsion) are another class of submarines using more conventional methods, capable of working without a steady supply of fresh air and in the same time not using nuclear technologies thereby avoiding any nuclear risks altogether. We are going to study a particular example of those AIPs - the Stirling engine.

Stirling engine

The Stirling engine was developed during the 19th century and was fast forgotten due to the emerging internal combustion engines (working with gasoline and diesel fuel). It can, however, see much more use in the future due to, among other things, its advantages in terms of environmental protection. The structure of the engine is shown in the following figure.

In the main chamber, where the working fluid is located, we find the power piston and another piston called the displacer piston, its role is to transfer the working fluid from the compression volume (the cold zone) to the expansion volume (hot zone) and vice-versa. During this transfer the fluid is coming into contact with the hot plate at the temperature $T_3$, the regenerator and the cold plate at the temperature $T_1$. The working fluid is going through a cycle, which has four stages:

• During the compression stage $1\to2$, the displacer piston is in the uppermost position (also called top dead center) and the fluid, in its entirety situated in the cold zone, is compressed by the power piston during its upwards movement.
• At point 2, the power piston is at its uppermost position (top dead center), and the displacer piston is moving downwards, thus transferring the compressed fluid from the cold to the hot zone during the transition $2\to3$, the working fluid receives heat firstly from the regenerator and afterwards by the hot plate.
• During the transition $3\to4$ the fluid is expanding in the given volume, where it is still being heated by the hot plate. This expansion is causing both the power and displacer pistons to go downwards.
• During the transition $4\to1$, after the power piston has reached its bottommost position (bottom dead center), the displacer piston is moving upwards, which causes the fluid to transfer towards the compression volume (cold zone). During this transition the fluid goes through the regenerator, thus transferring heat towards it, after which it is being cooled down by the cold plate.

In practice the regenerator is a heat exchanger: the fluid transfers heat towards it during one stage and receives it back during later stage.

We are going to study the ideal Stirling cycle, during which $n$ moles of ideal gas, with thermal capacities ratio $\gamma=\frac{C_p}{C_v}$ are subjected to the transformations in question, namely:

• compression $1\to2$ isothermal and reversible, at the temperature $T_1=300K$.
• heating up $2\to3$ isochoric transformation, ending up at the temperature $T_3=600K$ at point 3.
• expansion $3\to4$ isothermal and reversible, at the temperature $T_3$.
• cooling down $4\to1$ isochoric transformation, ending up at point 1.

The only work during those transformations is due to the pressure. We remind you that the thermal capacity at constant volume is given by: $C_v=\frac{nR}{\gamma-1}$, where $R$ is the ideal gas constant.

1. Draw four diagrams, each corresponding to one of the four transitions ($1\to2$, $2\to3$, $3\to4$, $4\to1$). Each of those diagrams should be similar to the one given (Fig.), explicitly showing the positions of the power piston and the displacer piston for the transition in question, as well as each piston's respective range of motion and an arrow indicating its direction of movement. Write down the transformations in progress for each diagram.

2. Represent the Stirling engine cycle on a $(p;V)$ diagram, which shows the gas pressure as a function of its volume. How would you determine if the system is acting as a conventional engine - using temperature difference in order to generate work, or as a heater - using external work to drive it, in order to create temperature difference? Recall the first law of thermodynamics, which accounts for the heat exchange and mechanical work acting upon a system and its internal energy.

3. Show that the work $W_{12}$ received by the fluid during the compression stage can be expressed in the following way $W_{12}=nRT_1\ln(\rho)$, where $\rho=\frac{V_1}{V_2}$ is the compression ratio (the volumes being respectively those of state 1 and 2). Deduce the heat transfer $Q_{12}$ received by the fluid during this compression. State explicitly the signs of $W_{12}$ and $Q_{12}$.

4. Express the heat transfer $Q_{23}$ received by the fluid during the heating up, as a function of $n$, $R$, $T_1$, $T_3$ and $\gamma$. State explicitly its sign.

5. Express the work $W_{34}$ received by the fluid during the expansion, as a function fo $n$, $R$, $T_3$ and $\rho$. Deduce the heat transfer $Q_{34}$ received by the fluid during the expansion. State explicitly the signs of $W_{34}$ and $Q_{34}$.

6. Express the heat transfer $Q_{41}$ received by the fluid during the cooling down as a function of $n$, $R$, $T_1$, $T_3$ and $\gamma$. State explicitly its sign. If the regenerator is ideal, the heat it transfers to the fluid is given by $q_{regenerateur}=q_{23}+q_{41}$. Comment.

7. The heat exchanges during the isochoric transformations are intern for the engine. The only heat exchanges with the exterior are during the isothermal stages. Deduce the efficiency $r$ of the engine as a function of $T_1$ and $T_3$. Calculate its numerical value.

8. Write down the expression of the Carnot engine efficiency $e_C$ operating between two heat sinks of temperatures $T_1$ and $T_3$. Compare the result to $r$ - the Stirling engine efficiency with the ideal regenerator. We remind you that the Carnot cycle consists of two isothermal transformations and two adiabatic transformations. It is not required to derive the expression of $e_C$.

Nuclear propulsion

Another method of submarine propulsion is using a nuclear reactor, which supplies energy thanks to the process of nuclear fission of a fuel such as uranium (primary circuit). This energy is used to vaporise water, which will drive a turbine, connected to an alternator. The alternator produces electrical power, which is directed towards the propeller of the submarine (Fig.5).

We are going to investigate the secondary circuit (Fig.6).

The water enters the pump in the form of saturated liquid (stage 1), after which is the compressed adiabatically and reversibly under the pressure determined by the vapour generator (VG). Entering into the VG, the water is in liquid form, compressed at the constant pressure $P_2$. After the VG, the water in is vapour form (stage 3), at the same pressure $P_2$, after which it goes through the turbine, where it expands adiabatically and reversibly, while driving the alternator. At the exit of the turbine (stage 4), the water is a two-phase mixture.

This liquid-vapour mixture is than liquefied at constant pressure in the condenser and exits at stage 1.

9. The four components of the cycle (called Rankine cycle), are the pump, the vapour generator, the turbine and the condenser, working with a steady flow of working fluid. The objective of the following question is to establish the expression of the first law of thermodynamics in this specific case. To accomplish this, we are going to consider a component $C$ and define the closed system $\Sigma_f$ in the following fashion:

— at the instant $t$, $\Sigma_f$ consist of the fluid in $C$ and the mass of fluid $dm_e$, which enters into $C$ between $t$ and $t+dt$ ;

— at the instant $t+dt$, $\Sigma_f$ consist of the fluid in $C$ and the mass of fluid $dm_s$ which exits from $C$ between $t$ and $t+dt$

(a) Draw a diagram of the component $C$ and the system $\Sigma_f$ at the instants $t$ and $t+dt$.

(b) Justify why $dm_e=dm_s$. We are going to note this quantity $dm$.

(c) We neglect the variation in kinetic energy (slow flow) and in gravitational potential energy (horizontal flow). Establish the following form of the first law of thermodynamics:

where $\Delta h$ is the variation of enthalpy per unit mass between the entry and exit points of the component ($h_s-h_e$), $w_u$ is the useful work per unit mass received by the fluid from the moving parts of the component and $q$ is the heat transfer per unit mass received by the fluid from the component.

HINT: We remind you that the enthalpy is defined by: $H=U+pV$, where $H$ is the enthalpy, $U$ is the internal energy, $p$ is the pressure and $V$ is the volume.

In order to answer the question, it is sufficient to write down the first law of thermodynamics for the closed system and to separate two terms of work - useful work and work due to the forces of pressure.

It is known that there is no useful work done in the vapour generator or in the condenser, since they have no moving parts, and the transformations inside the pump and the turbine are adiabatic.

10. We are going to use temperature-entropy diagram for water (in ANNEX, you should turn it in when the exam is over). On this diagram, how would an adiabatic reversible transformation be represented? Justify your answer.

11. We have $P_2=50\cdot10^5Pa$, $P_1=1.0\cdot10^5Pa$ and $T_3=500^\circ C$. The points 1 and 2 correspond to states 1 and 2 and are already placed onto the $(T;s)$ diagram of water. Onto the same diagram place points 3 and 4, corresponding to states 3 and 4 and finish the Rankine cycle.

HINT: The transformation $2\to3$ consists of 3 stages - liquid, liquid + vapour, vapour. For the first stage of the transformation, the graph is not well represented and thus you will have to draw it by approximating. We recommend that you add in this stage last, since it is going to be the least precise.

12. With the help of the $(T;s)$ diagram, find the numerical values of $T_1$, and the enthalpies per unit mass $h_3$ and $h_4$ respectively for states 3 and 4, the entropies per unit mass $s_4$ for state 4, $s_V(T_1)$ of pure vapour at $T_1$ and $s_L(T_1)$ of pure liquid at $T_1$.

13. Determine the numerical value of the vapour to vapour+liquid ratio $x_4$ at the exit of the turbine. Express $s_4$ as a function of $x_4$, $s_V(T_1)$ and $s_L(T_1)$.

We know that $h_1=440kJ.kg^{-1}$ and $h_2=475kJ.kg^{-1}$.

14. Using the first law of thermodynamics for steady flows, determine the expressions and the numerical values of $q_{cond}$ and $q_{VG}$, the heat exchanges per unit mass, received by the fluid, respectively in the condenser and in the VG.

15. Determine the expressions and numerical values of the useful work per unit mass received by the fluid in the pump and in the turbine, respectively $w_{pompe}$ and $w_{turb}$. Comment the results.

16. A fraction of the work produced by the turbine is used to drive the pump. Deduce the work per unit mass we are able to harvest at the alternator $w_{alt}$. Calculate its numerical value.

17. Define and calculate the numerical value of the efficiency $\eta$ of the Rankine cycle.

18. Compare the two propulsion methods - Stirling engine and nuclear propulsion.

ANNEXE / ANNEX

NOM / NAME : __________