Балкански 2022, Теория — Задача 1. La technique Patch Clamp

Préliminaires

La loi d'Ohm

On considère un milieu homogène conducteur de conductivité électrique $\sigma$. Une charge, de masse $m$ et de charge $q$, est susceptible de se déplacer librement à l'intérieur de ce matériau, mais subit au cours de son mouvement de nombreux chocs que l'on modélise globalement par une force de frottement du type $\overrightarrow{f_{fr}} = -\alpha\overrightarrow{v}$ où $\overrightarrow{v}$ est la vitesse de la charge et $\alpha$ une constante positive. On suppose que le matériau étudié est placé dans un champ électrique uniforme et constant $\overrightarrow{E} = E\overrightarrow{e_x}$ où $E = constante$. La charge subit alors une force électrique $\overrightarrow{f} = q\overrightarrow{E}$. On négligera les forces de pesanteur.

1. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique, déterminer l'équation vérifiée par la vitesse $\overrightarrow{v}$ et par l'accélération $\overrightarrow{a}$.

2. Préciser la vitesse limite $\overrightarrow{v_{\infty}}$ atteinte par la charge et le temps caractéristique $\tau$ du régime transitoire.

3. Sachant que le matériau possède $n$ charges mobiles par unité de volume, en déduire le vecteur densité volumique de courant $\overrightarrow{j}$ en fonction de $n, q, \alpha, \overrightarrow{E}$, lorsque le régime permanent est atteint.

4. Rappeler la loi d'Ohm et la présenter sous sa forme locale. En déduire que la conductivité du matériau vaut $\sigma = \frac{nq^2\tau}{m}$.

5. Montrer que la force $\overrightarrow{f} = q\overrightarrow{E}$ est une force conservative. Préciser l'expression de l'énergie potentielle $E_p$. On prendra $E_p(x = 0) = 0$. En déduire l'expression du potentiel $V(x)$ en fonction de $E$ et $x$.

6. Une portion de ce conducteur de section $S$ et de longueur $L$ est soumise à une difference de potentiel $U$. En déduire que la résistance $R$ de cette portion vaut $R = \frac{L}{\sigma S}$.

Conversion intensité-tension par un montage amplificateur opérationnel

L'amplificateur opérationnel (AO) est supposé parfait et fonctionne en régime linéaire. Admettons que dans ce régime $v_{e1} = v_{e2}$ - le potentiel à l'entré 1 est égal au potentiel à l'entré 2, et $i_{e1} = i_{e2} = i_s = 0$, les courants entrants et sortants de l'AO sont nuls. Sur le schéma on voit une source de courant et une source de tension.

7. Exprimer la tension de sortie $V_0$ en fonction de l'intensité du courant $i$, de la tension de référence $V_{ref}$ et de $R$.

Montage soustracteur et amplificateur

Comme dans la question précédente - on suppose que l'AO est parfait et fonctionne en régime linéaire.

8. Exprimer la tension de sortie $v_s$ en fonction de $v_1$ et de $v_2$ ainsi que des différentes résistances. Le montage est présenté sur la figure en dessus.

9. Que se passe-t-il si les quatre résistances sont identiques ?

10. L'AO est à nouveau supposé parfait et fonctionnant en régime linéaire. Déterminer la tension $v$ en fonction de $v_3$, $R$ et $R_{var}$. Donner un nom à ce montage. Le montage est présenté sur la figure au-dessous.

Étude d'un régime transitoire

Nous considérons le circuit ci-contre constitué d'un condensateur de capacité $C$, initialement déchargé, de deux résistances $R_1$ et $R_2$, alimenté par un générateur délivrant un signal variable dans le temps $v_e(t)$. Nous allons appliquer à ce circuit une stimulation d'amplitude $\Delta V = V_{ref} > 0$ et de durée $\Delta t$, c'est-à-dire $v_e(t)$ va varier dans le temps suivant cette loi.

11. Donner l'allure de $v_e(t)$.

12. Exprimer $i(t = 0^+)$ en fonction de $v_{ref}$ et $R_1$. ($0^+$ vaut dire le moment juste après $t = 0$)

13. Exprimer $i(t = \Delta t^-)$ en fonction de $v_{ref}$, $R_1$ et $R_2$. On suppose $\Delta t$ suffisamment grand pour que le circuit ait atteint un régime permanent à l'instant $\Delta t^-$. ($\Delta t^-$ vaut dire le moment juste avant $t = \Delta t$)

14. Établir l'équation vérifiée par $u(t)$ en fonction de $R_1$, $R_2$, $C$ et $v_e(t)$. Préciser la constante de temps $\tau'$ de ce circuit.

15. En supposant $\tau' \ll \Delta t$, préciser la valeur $u(\Delta t)$. Qualitativement proposer comment $u(t)$ varie dans le temps. Qualitativement proposer comment $i(t)$ varie dans le temps.

Modèle simplifié de l'amplificateur Patch Clamp

Les techniques de potentiel imposé à une membrane ont pour finalité le maintien du potentiel membranaire d'une cellule ou d'un groupe de cellules à une valeur fixe et l'enregistrement simultané des courants ioniques liés aux transferts d'ions à travers la membrane. Toute mesure nécessite une paire d'électrodes : une électrode de mesure reliée à un convertisseur et une électrode de référence indifférente (généralement une électrode au calomel ou au chlorure d'argent), montées en opposition. La pipette d'enregistrement est un simple tube de verre contenant une solution ionique de composition fixée par l'expérience dans lequel est placée une électrode d'argent chlorurée. L'ensemble permet la conduction électrique entre la membrane cellulaire ou l'intérieur de la cellule et le premier étage de l'amplificateur qui est un convertisseur courant tension (bloc (2)). Nous donnons ci-dessus le schéma électrique équivalent en configuration cellule entière qui permet l'enregistrement de courants macroscopiques. Le second étage ( blocs (3) et (4) ) retranche la tension de référence et amplifie le signal d'un facteur compris entre 1 et 200.

Étude de l'amplificateur

En utilisant les résultats des question préliminaires :

16. Exprimer $V_0$ en fonction de $V_{ref}$, $i(t)$ et $R_f$.

17. Exprimer $V_1$ en fonction de $V_{ref}$ et $V_0$, puis en fonction de $i(t)$ et $R_f$.

18. Exprimer $v$ en fonction de $i(t)$, $R_f$, $R$ et $R_{var}$.

Mesure de la résistance de seal

La pipette est modélisable par une résistance $R_{pip} = 10M\Omega$. La zone de contact (ZC) entre la pipette et la membrane peut être représentée par un cylindre de diamètre $d = 1\mu m$ et de hauteur $h = 2\mu m$, de conductivité $\sigma = 10^{-2}\Omega^{-1}.cm^{-1}$.

19. En utilisant le résultat établi dans la partie préliminaire, exprimer la résistance d'accès $R_{accs}$ à la membrane en fonction de $h$, $d$ et $\sigma$. Calculer numériquement $R_{accs}$.

Il se forme de plus une résistance de jonction, ou de fuite, appelée résistance de seal conditionnant la stabilité de la liaison pipette membrane. Cette résistance est constituée par une colonne cylindrique entourant la zone ZC, de même conductivité $\sigma$ que ZC. Cette colonne a l'épaisseur $e = 3 \times 10^{-10}m$ ($e \ll d$) et la hauteur $h = 2\mu m$.

20. Exprimer la résistance de jonction $R_{seal}$ en fonction de $h$, $d$, $e$ et $\sigma$. Calculer numériquement $R_{seal}$.

21. Quel est alors le montage électrique équivalent à l'association de ces trois résistance : $R_{pip}$, $R_{accs}$ et $R_{seal}$ ? Compte tenu des valeurs numériques, simplifier le montage.

Mesure en configuration cellule entière

On modélise par $R_1$ la résistance équivalente de la pipette précédente, $R_2$ et $C$ représentent la résistance et la capacité de la membrane (bloc 1) :

22. Déduire de l'enregistrement de $v(t)$ donné ci-dessous les valeurs de $R_1$, $R_2$ et $C$. On précise que $V_{ref} = 5mV$, $R_f = 100M\Omega$ et $R_{var} = 0$. Sur cet enregistrement, l'abscisse $t$ est en secondes et l'ordonnée $v$ est en volts.