Балкански 2022, Теория — Задача 4. Satellites de télécommunication

Satellite sur orbite circulaire

1. Un satellite de masse $M_S$ est en orbite circulaire de centre $O$, à une altitude $h$ de l'ordre de quelques centaines de kilomètres (orbite basse). Établir la relation entre la période de révolution $T$ et $h$. Exprimer de même la relation entre la vitesse $v = ||\overrightarrow{v}||$ et $h$.

2. Soient $E_c$ et $E_p$ l'énergie cinétique du satellite et son énergie potentielle dans le champ de gravitation de la Terre. Etablir le théorème du viriel : $2E_c + E_p = 0$.

3. À chaque position $P$ du satellite correspond un point $Q$ sur la Terre à la verticale de ce point. L'ensemble des points $Q$ définit la trace de la trajectoire. Pour un observateur situé en $Q$, la durée de visibilité $\tau$ d'un satellite est l'intervalle de temps entre son apparition sur l'horizon (point $A$ de la Fig. X) et sa disparition sous l'horizon (point $B$). Exprimer $\tau$ en fonction de $h$, $G$, $M_T$ et $R_T$.

Calculer $\tau$ pour $h = 8 \times 10^5m$.

4. Calculer $\frac{T}{\tau}$. Pour les besoins de la téléphonie mobile, on place sur des orbites polaires (c'est-à-dire contenues dans un plan méridien terrestre) un ensemble de satellites identiques, appelé train de satellites. Ces satellites sont disposés régulièrement sur leur orbite polaire commune, à l'altitude de $800km$. Calculer le nombre minimal de satellites nécessaires pour former un train afin que tous les points au sol, dans le même plan méridien que l'orbite voient au moins un satellite à tout instant.

Combien d'orbites polaires de ce type faut-il pour couvrir la surface de la Terre, c'est-à-dire pour que chaque point de la surface terrestre voie au moins un satellite à tout instant ? Combien doit-on disposer de satellites en tout ?

5. Dans cette question, on prend en compte la rotation de la Terre. Calculer la période et l'altitude d'un satellite placé sur orbite géostationnaire. La notion de durée de visibilité garde-t-elle, dans ce cas, un sens ? Quels sont les avantages et les inconvénients d'un satellite géostationnaire comparé au train des questions précédentes ?

6. La Terre est entourée d'une atmosphère qui s'oppose au mouvement du satellite. La force de frottement $\overrightarrow{f_{alpha}}$ créée par l'atmosphère est proportionnelle au carré de la vitesse $v$ du satellite et elle s'exprime par $\overrightarrow{f_{alpha}} = -\alpha M_S v\overrightarrow{v}$, où $\alpha$ a une valeur positive, constante dans cette question. Déterminer la dimension de $\alpha$. Écrire le théorème de l'énergie cinétique en supposant que le théorème du viriel établi précédemment reste applicable en présence de $\overrightarrow{f_{alpha}}$. Établir l'équation vérifiée par $h$.

7. Un satellite placé sur une orbite d'altitude $800km$ subit une diminution d'altitude d'environ $1m$ par révolution. Sa vitesse est, en norme, très peu affectée au bout d'une révolution. En déduire une estimation au premier ordre de $\alpha$. Calculer, avec la même approximation, ce qu'il devient de l'altitude au bout de 10 ans de fonctionnement du satellite. Comparer à la solution exacte. Le fait d'avoir une augmentation de la vitesse en présence d'une force opposée au mouvement est-il paradoxal ?

8. En réalité, les frottements dépendent de la densité de l'atmosphère et donc de l'altitude. Dans un certain domaine d'altitudes, $\alpha$ varie selon la loi $\alpha(h) = \frac{\gamma}{h^{\beta}}$, où $\gamma$ et $\beta$ sont positifs. Le même satellite que celui des questions précédentes (perdant 1m par révolution pour un altitude d'environ 800km) perd, à l'altitude de 400m, 2 mètres par révolution. Calculer $\gamma$ et $\beta$.

Stabilisation de l'attitude d'un satellite par gradient de gravité

La méthode de stabilisation d'attitude par gradient de gravité a été mise en œuvre pour les satellites artificiels afin qu'ils présentent vers la Terre toujours le même côté. Elle ne requiert aucune ressource d'énergie embarquée. Le principe de cette méthode a été établi par Lagrange, au XVIIème, afin d'expliquer pourquoi la Lune présente toujours la même face vers la Terre.

On considère le modèle suivant : le satellite est constitué de deux points matériels $M_1$ et $M_2$ de masses identiques $m = \frac{1}{2}M_S$ reliés par une tige rigide de masse nulle et de longueur $2l$. Le barycentre $S$ du satellite décrit autour de la Terre une orbite circulaire de rayon $r_0 = R_T + h$ ($l \ll r_0$). Le référentiel géocentrique $(R)$ lié au repère $(Oxyz)$ est supposé galiléen. Le plan orbital est $Oxy$. Une façon d'approcher le problème c'est de considérer le référentiel $(R')$ défini par le repère $(Ox'y'z)$ lié au satellite tournant autour de la Terre avec une vitesse angulaire $\Omega$. Les points $M_1$ et $M_2$ sont dans le plan orbital. On suppose qu'il n'y a pas de frottements.

9. Exprimer les forces gravitationnelles qui agissent sur $M_1$ et $M_2$. Trouver les configurations d'équilibre et discuter de leur stabilité. Trouver le period d'oscillations du satellite.