Балкански 2025, Теория — Задача 1. Ondes longitudinales

Concours Général de Physique «Minko Balkanski» · 12 август 2025 г.

Прочетете внимателно!

Част първа и част втора съдържат условията на задачите съответно на френски и английски език. Единствените външни документи, на които имате право, са френски и английски речници. Ако желаете, можете да ползвате калкулатори.

При оценяването на задачите голяма тежест ще имат яснотата и стилът на изложените решения и аргументация. Не използвайте излишна проза в аргументите си, бъдете точни и кратки. Използването на схеми за онагледяване на разсъжденията Ви е желателно. Пишете само на езика, който сте избрали (френски или английски).

Разполагате с 4 часа. Успех!

La sismologie

Ce problème vous propose d'étudier quelques aspects d'une technique utilisée en géophysique : la sismologie. Dans trois parties largement indépendantes, vous étudierez les ondes longitudinales dans le sol, les détecteurs sismiques et enfin une modélisation simple de la source de ces ondes.

Условие

On choisit une modélisation unidimensionnelle du milieu élastique que constitue le sol. Il est décrit par une chaîne infinie de points matériels tous identiques de masse $m$, repérés par un indice $p$ et reliés par des ressorts de même raideur $k$ (Figure 1).

On considère que seules les forces élastiques interviennent et que les mouvements se font uniquement suivant l'axe $x$. Au repos toutes les masses sont distantes de $a$. On note $x_p$ le déplacement de la masse d'indice $p$ par rapport à sa position d'équilibre.

1. Déterminer l'équation pilote donnant accès au mouvement de la masse d'indice $p$.

2. On recherche les solutions sous la forme d'ondes : $x_p = X_0cos(Kpa - \omega t)$ avec $\omega$ réel. Montrer que la relation entre $\omega$ et $K$ est donnée par $\omega = 2\sqrt{\frac{k}{m}}|sin(\frac{Ka}{2})|$. Tracer la courbe donnant $\omega$ en fonction de $K$.

3. Comment peut-on interpréter les différentes valeurs de $K$ associées à une valeur donnée de $\omega$ ? On s'intéressera à la parité et à la périodicité des valeurs de $K$.
Dans ces conditions peut-on restreindre le domaine de définition de $K$ ? Déterminer les vitesses de phase et de groupe des ondes longitudinales. Le milieu est-il dispersif ?

4. Montrer que la chaîne peut être considérée comme un filtre dont on donnera la nature et la pulsation de coupure $\omega_c$.

5. Dans le cas $\omega > \omega_c$, sous quelle nouvelle forme peut-on chercher $x_p$ ? Commencer par explication qualitative et sans calculs ce qui se passe, ensuite déterminer explicitement la forme de $x_p$.

6. On s'intéresse maintenant au domaine $K$ faible. Par quelle inégalité entre grandeurs physiques peut-on définir $K$ faible ? Que devient la relation liant $K$ à $\omega$ ? Que deviennent les vitesses de phase et de groupe, le milieu est-il dispersif ? Quel type d'ondes, plus connu, a-t-on trouvé ici ?

7. Le modèle précédent peut-il être utilisé pour décrire les vibrations longitudinales d'un réseau cristallin unidimensionnel ? Que modélisent alors les masses et les ressorts ? Dans un cristal quelles sont les forces en jeu à l'échelle microscopique ? Les forces élastiques en constituent-elles une modélisation acceptable ?

8. Des études de géophysique sur la propagation des ondes sismiques longitudinales dans le sol terrestre donnent les résultats suivants (Figure 2) pour la vitesse de propagation en fonction de la profondeur. Les fréquences observées étant de l'ordre de 1 à 10 Hz. Que représentent les discontinuités de vitesse, que peut-on en déduire quant à la structure du globe terrestre ?

Решение

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Оригинал в Архива: CGP_2025.pdf