Балкански 2025, Теория — Задача 2. Etude du sismographe

9.

Le sismographe est constitué d'un support rigide de hauteur $h$ auquel on suspend une masse $m$ par l'intermédiaire d'un ressort sans masse, de raideur $k$. Le ressort prend alors une longueur $l_1$ (Figure 3). La masse a un mouvement vertical amorti par un frottement fluide, le coefficient de frottement est noté $\lambda$.

(a) Déterminer l'équation pilote donnant le mouvement de la masse $m$, repérée par la cote $z(t)$.

(b) Déterminer l'amplitude $A$ du mouvement de la masse $m$ en régime forcé et tracer la courbe donnant $\frac{A}{Z_0}$ en fonction de $\omega$ dans le cas où le coefficient d'amortissement vérifie : $\lambda^2 < 2km$.

(c) L'utilisateur souhaite observer un mouvement dont l'amplitude soit, dans la mesure du possible, égale à l'amplitude du mouvement du sol. Comment doit-il choisir $m$ et $k$, la pulsation $\omega$ étant fixée ? Justifier ce résultat physiquement.

(d) Les fréquences de vibrations enregistrées étant dans la gamme de 1 à 10 Hz , quelle relation sur $m$ et $k$ obtient-on ? Que dire, à l'équilibre, de l'allongement du ressort soumis au seul poids de la masse $m$ ?

10.

On introduit la suspension de La Coste.
On définit un trièdre direct $Oxyz$. Dans le plan $Oyz$, on définit un axe $Oz'$ tel que l'angle $(Oz, Oz') = \alpha$ soit constant. $P$ est un point fixe de $Oz'$ , on note $OP = d$. Dans le plan $Oyz$, une tige $OA$ de longueur $l$, de masse négligeable peut tourner sans frottement autour de $Ox$. En $A$ est fixé un disque homogène de masse $m$ et de rayon $R$.
Un ressort sans masse, de raideur $k$, de longueur à vide nulle et assujetti à rester rectiligne relie le point $P$ au point $A$ (Figure 4).

(a) Déterminer les valeurs de $\theta$ à l'équilibre du système. On envisagera les deux possibilités : $\alpha = 0$ et $\alpha \neq 0$. On se limite au domaine : $\theta \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} - \alpha]$

(b) A quelle condition la position $\theta = 0$ est-elle une position d'équilibre ? Dans ce cas, quelle est la période des petites oscillations autour de $\theta = 0$ ? Quelle valeur de $\alpha$ doit-on choisir pour avoir une période de 10s en prenant : $l = 20cm$ ; $R = 5cm$ et $g = 10m.s^{-2}$ ?

(c) On envisage le cas où le disque est libre de tourner autour de l'axe $Ax$ sans frottement. La période du mouvement est-elle changée, quelle est sa valeur ?

11.

On considère l'enregistrement des mouvements sismiques.
On revient au sismographe décrit au début de cette partie, soumis à la même vibration du sol :

en négligeant le frottement fluide d'origine mécanique de coefficient $\lambda$. On suspend à la masse $m$ une bobine de $N$ spires circulaires de rayon $a$, de masse négligeable, de résistance électrique $R$ et de coefficient d'auto-inductance $L$. Les extrémités du fil constituant la bobine sont reliées aux points $C$ et $D$ par des fils infiniment souples et sans influence électrique ou mécanique.
La bobine mobile reste toute entière dans l'entrefer d'un aimant d'axe de symétrie $\Delta$ créant au niveau des spires un champ magnétique radial de module $B$ constant (Figure 5).

(a) Les bornes $C$ et $D$ de la bobine étant connectées à une résistance extérieure $R_e$, quelles sont les équations donnant le mouvement de la masse $m$ et le courant $I$ dans la bobine ?

(b) Rechercher les solutions de ces équations en régime forcé à la pulsation $\omega$. Simplifier le résultat en supposant $L\omega \ll R$.

(c) Peut-on dire que la tension $V_s(t)$ entre les bornes $C$ et $D$ est proportionnelle à la vibration du sol $Z_s(t)$ ? Quelle opération doit-on faire subir au signal électrique pour détecter l'amplitude du mouvement du sol ?

(d) Proposer un montage électrique qui pourra accomplir cette tâche et le justifier.