BelPhO 1990, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-4

• 1.5 с

Причина возникновения колебаний становится явной из рисунка. Сдвинем однородной стержень на расстояние $x$, например, вправо. Поскольку центр тяжести (точка $O'$ на рисунке) стержня при этом приблизится к правому цилиндру, то сила реакции опоры $\vec{N}_1$ станет по величине больше $\vec{N}_2$

Уравнения (1) достаточно легко можно получить из условия равновесия стержня по вертикали (движение отсутствует) и отсутствия его вращения относительно центра масс. Так как цилиндры вращаются навстречу друг другу, то силы трения скольжения $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ также направлены навстречу друг другу. Их геометрическая сумма направлена к точке начального равновесия $O$ и равна:

Таким образом, уравнение движения стержня принимает хорошо известный вид:

Уравнение (3) описывает гармонические колебания с периодом

Интересно отметить, что приведенный пример гармонических колебаний не нуждается в традиционном критерии малости: в однородном гравитационном поле мы должны побеспокоится только о том, чтобы центр тяжести стержня не вышел за цилиндр:

При этом величина амплитуды ограничивается только нашими «техническими» возможностями при демонстрации, а не принципиальными теоретическими положениями, как это было в случае математического и пружинного маятников.