Съдържание

BelPhO 1990, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1990

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Витебск,1990)

Условие

Два металлических шара радиусы которых $r_1$ и $r_2$ соединены тонкой проволокой. Второй шар окружен концентрической проводящей оболочкой, находящейся на расстоянии $d$ от его поверхности, и соединенной с землей. Шарам сообщается заряд $Q$ . Как распределится этот заряд между шарами? Считать, что $d \ll r_2$ , и расстояние между шарами значительно больше их радиусов.

Шар радиуса r1, соединенный проволокой с шаром радиуса r2, окруженным концентрической заземленной оболочкой на расстоянии d от его поверхности.

Отговори

Решение

Перераспределение зарядов (т.е. электрический ток) в любой системе прекратится после выравнивания потенциалов всех ее частей. Строгий расчет приведенной системы (с учетом электроемкости провода, взаимного влияния и т. д.) в общем случае достаточно сложен, однако особенности данной схемы дают нам возможность считать, что взаимным влиянием шаров можно пренебречь, а на поверхности концентрической проводящей оболочки будет индуцирован заряд обратной по знаку и равный по модулю заряду $Q_2$ шара $r_2$ (как в плоском конденсаторе). Пусть заряд шара $r_1$ будет $Q_1$ . Тогда по закону сохранения заряда:

Q = Q_1 + Q_2. \qquad (1)

Шар r1, соединенный проводом (с разрывом) с шаром r2 внутри заземленной концентрической оболочки на расстоянии d.

Потенциал $\varphi_1$ первого шара:

\varphi_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_1}{r_1},

второго (по принципу суперпозиции потенциалов):

\varphi_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_2}{r_2} - \frac{Q_2}{r_2 + d}\right) = \frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{d}{r_2\left(r_2 + d\right)} \approx \frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{d}{r_2^2}.

Из условия $\varphi_1 = \varphi_2$ получаем второе уравнение:

\frac{Q_1}{r_1} = \frac{Q_2}{r_2}\cdot\frac{d}{r_2}. \qquad (2)

Решая систему уравнений (1)-(2) имеем:

\begin{cases} Q_1 = \dfrac{r_1 d}{r_1 d + r_2^2}Q \\ Q_2 = \dfrac{r_2^2}{r_1 d + r_2^2}Q \end{cases}. \qquad (3)

Заметим, что при $d \to 0$ система (3) дает:

\begin{cases} Q_1 = 0 \\ Q_2 = Q \end{cases}, \qquad (4)

что может быть прокомментировано следующим образом: электроемкость сферического конденсатора значительно возрастает, что позволяет ему сконденсировать на себе практически весь электрический заряд.

Оригинал в Архива: 1990problems.pdf · официални решения: 1990solutions.pdf