Съдържание

BelPhO 1990, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1990

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Витебск,1990)

Условие

Тело движется в положительном направлении оси $X$ так что его скорость обратно пропорциональна координате $u = b/x$ , где $b$ – известная постоянная величина. За какое время тело переместится из точки с координатой $x_1$ в точку с координатой $x_2$ ?

Отговори

Решение

Данный вид движения не является ни равномерным, ни равноускоренным. Прямой ход решения содержит операцию интегрирования -материал, прием недоступный десятиклассникам:

t = \int_{t_1}^{t_2} dt = \left\{\begin{aligned} dt &= \frac{dx}{\upsilon} = \frac{xdx}{b} \\ \upsilon &= \frac{b}{x} \end{aligned}\right\} = \int_{x_1}^{x_2}\frac{xdx}{b} = \frac{1}{b}\left.\frac{x^2}{2}\right|_{x_1}^{x_2} = \frac{x_2^2 - x_1^2}{2b}. \qquad (1)

Для решения задачи без применения интегрирования, необходимо построить график зависимости величины, обратной скорости, от расстояния, т.е. зависимость $\frac{1}{v}\left(x\right)$ :

\frac{1}{v}\left(x\right) = \frac{x}{b}

График зависимости 1/v от x – прямая из начала координат; заштрихована трапеция между x1 и x2, выделен элементарный столбик шириной Δx.

Рассматривая отмеченный на рисунке элементарный столбик, видим, что его площадь численно равна времени, которое требуется, чтобы преодолеть участок пути $\Delta x_i$

\Delta t_i = \Delta x_i\cdot\frac{1}{v_i} = \Delta x_i\cdot\left(\frac{x_i}{b}\right);

Таким образом, площадь трапеции, затонированной на рисунке, и даст нам искомое время движения тела:

t = \sum_i \Delta t_i = \sum\Delta S_i = \left(x_2 - x_1\right)\frac{1}{2}\left(\frac{x_2 + x_1}{b}\right) = \frac{x_2^2 - x_1^2}{2b}.

Оригинал в Архива: 1990problems.pdf · официални решения: 1990solutions.pdf