Съдържание

BelPhO 1990, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1990

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Витебск,1990)

Условие

Две удаленные друг от друга проводящие сферы, внешние радиусы которых $R$ и $3R$ , имеют толщину стенок $R/20$ . В центры сфер помещены заряды $Q$ и $2Q$ . Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы поменять местами эти заряды (в стенках для этой цели предусмотрены маленькие отверстия)?

Две проводящие сферы с толстыми стенками и маленькими отверстиями: большая радиуса 3R с зарядом 2Q в центре и малая радиуса R с зарядом Q в центре.

Отговори

Решение

Поле точечного заряда помещенного в центре проводящей сферы некоторой толщины, отличается от поля точечного заряда только в областях нахождения проводника: там оно «съедено» (вспомните принцип электростатической защиты). Таким образом, энергия полей в двух случаях отличаются только на энергию указанной области.

В условии задачи даны достаточно тонкие сферы – поэтому можно упростить расчет, считая плотность энергии поля постоянной по всему объему. В нашем случае:

\Delta W = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2}V = \frac{\varepsilon_0}{2}\left[\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\right]^2 4\pi R^2\Delta R.

W_{\text{нан}} = W_Q + W_{2Q} - \frac{\varepsilon_0}{2}\left[\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\right]^2 4\pi R^2\cdot\Delta R - \frac{\varepsilon_0}{2}\left[\frac{2Q}{4\pi\varepsilon_0 9R^2}\right]^2 4\pi 9R^2\Delta R.

W_{\text{кон}} = W_Q + W_{2Q} - \frac{\varepsilon_0}{2}\left[\frac{2Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\right]4\pi R^2\Delta R - \frac{\varepsilon_0}{2}\left[\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 9R^2}\right]^2 4\pi 9R^2\Delta R,

где $\Delta W$ – величина «съеденной» энергии поля, $W_{\text{нан}}$ и $W_{\text{кон}}$ соответственно начальное и конечное значение энергии системы.

Согласно закону сохранения энергии:

W_{\text{кон}} = W_{\text{нан}} + A,

где $A$ – искомое значение зарядов минимальной работы по перестановке местами.

В нашем случае:

A = -\frac{Q^2}{60\pi\varepsilon_0 R}.

Оригинал в Архива: 1990problems.pdf · официални решения: 1990solutions.pdf