BelPhO 1991, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-1

• 58.5 м

Хорошо известно, что максимальная дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, достигается при угле вылета равном $45^{o}$ и определяется формулой

Из этой формулы можно найти скорость, которую катапульта сообщает камню

Рассмотрим теперь полет камня, выпущенного из движущейся катапульты. Введем систему координат, оси которой: $X$ — направлена горизонтально, а $Y$ — вертикально. Начало координат совместим с положением катапульты в момент вылета камня.

Для вычисления вектора скорости камня необходимо учесть горизонтальную скорость движения катапульты $v = v_0$ Допустим, что катапульта выбрасывает камень под углом $\alpha$ к горизонту. Тогда компоненты начальной скорости камня в нашей системе координат могут быть записаны в виде

Закон движения камня имеет вид

Из второго уравнения системы (3) найдем время полета, положив $y = 0$,

Подставив это выражение в первое уравнение системы (3), получим дальность полета камня

Отвлечемся немного от решения данной конкретной задачи и порассуждаем о полученном выражении. Во-первых, если катапульта неподвижна ($v = 0$), то формула (5) переходит в известное выражение для дальности полета тела, брошенного с начальной скоростью под углом $\alpha$ к горизонту

Во-вторых, из (5) совсем не следует, что $S_1$ будет максимально при $\alpha = 45^{0}$ (это справедливо для (6), когда $v = 0$).

Предлагая эту задачу на республиканскую олимпиаду, авторы были убеждены, что девять десятых участников получат формулу (5) и затем подставят в нее значение $\alpha = 45^{0}$. Однако, к нашему сожалению, мы ошиблись: ни один из олимпийцев не усомнился в том, что максимальная дальность полета всегда (!) достигается при угле вылета, равном $45^{o}$. Этот широко известный факт имеет ограниченные рамки применимости: он справедлив только, если: а) не учитывать сопротивление воздуха; б) точка вылета и точка падения находятся на одном уровне; в) метательный снаряд неподвижен.

Вернемся к решению задачи. Итак, нам необходимо найти значение угла $\alpha$, при котором $S_1$, определяемое формулой (5), максимально. Можно, конечно, найти экстремум функции, используя аппарат дифференциального исчисления: найти производную, положить ее равной нулю и, решив полученное уравнение, найти искомое значение $\alpha$. Однако учитывая, что задача была предложена ученикам 9-х классов, мы дадим ее геометрическое решение. Воспользуемся тем обстоятельством, что $v = v_0 = 15\ \text{м}/\text{с}$.

Расположим векторы $\vec{v}$ и $\vec{v}_0$ как показано на рис. Так как их длины равны, то вокруг них можно описать окружность с центром в точке $O$. Тогда длина отрезка $AC$ равна $v_0 + v_0\cos\alpha$ (это есть $v_{x0}$), а длина отрезка $BC$ равна $v_0\sin\alpha$ (это $v_{y0}$). Их произведение равно удвоенной площади треугольника $ABC$, или площади треугольника $ABB_1$. Обратите внимание, что именно произведение $v_{x0}v_{y0}$ входит в выражение для дальности полета (5). Иными словами, дальность полета равна произведению площади $\Delta ABB_1$ на постоянный множитель $\frac{2}{g}$. А теперь зададимся вопросом: какой из вписанных в данную окружность треугольников имеет максимальную площадь? Естественно, правильный! Поэтому искомое значение угла $\alpha = 60^{0}$.

Вектор $A\vec{B}$ есть вектор полной начальной скорости камня, он направлен под углом $30^{o}$ к горизонту (опять же отнюдь не $45^{o}$).

Таким образом, окончательное решение задачи следует из формулы (5), в которую следует подставить $\alpha = 60^{0}$.