Съдържание

BelPhO 1991, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1991

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Гродно, 1991 г.)

Условие

Два одинаковых груза массой $M$ каждый, соединенные пружиной, лежат на шероховатой горизонтальной плоскости в поле тяжести земли. Какую минимальную горизонтальную силу необходимо приложить к правому грузу, чтобы пришел в движение левый груз? Коэффициент трения грузов о плоскость $\mu$ . В начальном состоянии пружина не деформирована.

Два бруска на горизонтальной шероховатой поверхности, соединённые пружиной; к правому бруску приложена горизонтальная сила F вправо; слева вектор g вниз.

Отговори

Решение

Для того, чтобы сдвинуть тело 2 с места, необходимо приложить к нему горизонтально силу, которая превышает максимальную силу трения покоя, которая в данном случае равна

Два бруска, соединённые пружиной, на шероховатой поверхности; к правому приложена сила F вправо; над пружиной силы упругости F_упр.2 (вправо, на левый брусок) и F_упр.1 (влево, на правый брусок); под поверхностью силы трения F_тр.2 и F_тр.1 влево; слева вектор g вниз.

F_{\text{тр.}2} = \mu mg. \qquad (1)

В качестве силы, которая сдвигает это тело, выступает сила упругости пружин, модуль которой, согласно закону Гука, равен

F_{\text{упр.}} = k\Delta x, \qquad (2)

где $k$ — жесткость пружины, $\Delta x$ — ее удлинение.

Таким образом, необходимо удлинить пружину (т. е. сдвинуть тело 1) на величину

\Delta x = \frac{\mu mg}{k}. \qquad (3)

Если мы приложим к телу 1 постоянную силу $F$ , таким образом его движение не будет равноускоренным, так как на него действует, помимо постоянной силы трения $F_{\text{тр.}} = \mu mg$ , сила упругости $F_{\text{упр.}} = k\Delta x$ , которая не является постоянной. Качественно движение тела 1, при неподвижном теле 2, можно описать следующим образом. Если сила $\vec{F}$ по модулю превышает силу трения $\vec{F}_{\text{тр.}1}$ , то тело начнет двигаться с положительным ускорением, при этом сила упругости начнет возрастать, в некоторой точке $F_{\text{упр.}}$ превысит разность $F - F_{\text{тр.}1}$ , и ускорение изменит свой знак. Тело 1 еще некоторое время будет двигаться в положительном направлении и затем остановиться. Максимальная деформация пружины будет в момент остановки тела. Эту максимальную деформацию $\Delta x_1$ можно найти, воспользовавшись энергетическими соображениями: работа постоянной силы $F$ числено равна изменению энергии пружины плюс работа силы трения. Кинетическая энергия тела в начальный и конечный моменты движения равна нулю.

F\Delta x_1 = \mu mg\Delta x_1 + \frac{k(\Delta x_1)^2}{2} \qquad (4)

или

F = \mu mg + \frac{k\Delta x_1}{2} \qquad (5)

Очевидно, что для ответа на поставленный в задаче вопрос следует положить в (5) $\Delta x_1 = \Delta x$ , определяемое (3). Окончательно получим

F = \mu mg + \frac{\mu mg}{2} = \frac{3}{2}\mu mg. \qquad (6)

Обратите внимание на два обстоятельства:

Искомая сила равна сумме силы трения, действующей на тело 1, и половине (!) силы трения, действующей на тело 2;
Ответ не зависит от величины жесткости пружины. Подумайте, как объяснить эти обстоятельства в том случае, когда жесткость пружины очень велика (скажем, вместо пружины металлический стержень).

Не объясняет ли данная задача старую бурлацкую песню “поддернем, поддернем, да ухнем!”?

Оригинал в Архива: 1991problems.pdf · официални решения: 1991solutions.pdf