BelPhO 1991, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-3

• $H = \sqrt{\frac{2mg}{\rho gl(\operatorname{tg}\alpha - \mu)}}$

  При μ < tgα; при μ ≥ tgα уровень ограничен иными причинами (например, высотой стенок). В условии масса клина обозначена M, в решении — m.

Пусть в рассматриваемый момент уровень воды в аквариуме равен $H$. Тогда среднее давление жидкости на клин $P_{\text{ср}} = \frac{1}{2}\rho gH$, соответственно средняя сила давления

где $l$ — ширина клина. Сила $\vec{F}_{\text{Д}}$ стремится приподнять клин, а силы тяжести и трения препятствуют этому. Понятно, что если при некотором значении $H$ клин все же будет приподнят, таким образом вода начнется выливаться из аквариума и клин опуститься. Таким “автоколебательным” режимом и будет установлен возможный максимальный уровень жидкости в аквариуме.

Условие равновесия клина

Атмосферным давлением, обратите внимание, мы, записывая (2), пренебрегли. Подумайте самостоятельно, почему оно не вошло в значение $P_{\text{ср}}$. В проекциях на оси OX и OY

В предельном случае (клин начинает подниматься)

И из (3)-(4) следует:

откуда и получаем окончательный ответ

Выясним, всегда ли справедлив ответ в форме (5). Подкоренное выражение не может быть отрицательным, поэтому сразу отмечаем, что (5) имеет смысл при $\mu < \operatorname{tg}\alpha$. Физически это означает, что клин может быть поднят только не при очень сильном трении. А как быть при $\mu \ge \operatorname{tg}\alpha$? Понятно, что в этом случае условие (4) будет выполнено при значении силы трения $F_{\text{тр}}$ меньше предельного (т. е. трением покоя). И воды, следовательно, можно наливать сколько угодно в аквариум — ее максимальный уровень уже будет определяться иными причинами (например, высотой стенок).