Съдържание

BelPhO 1991, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1991

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Гродно, 1991 г.)

Условие

На наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha$ с горизонтом, кладут маленькую заряженную шайбу $D$ , коэффициент трения которой о плоскость $\mu$ $(\mu < \operatorname{tg}\alpha)$ . В основании наклонной плоскости закреплен такой же точечный заряд $Q$ . Шайба находится в равновесии. Каким при этом может быть максимальный угол $\beta = AQD$ , где прямая $AQ$ параллельна составляющей вектора $\vec{g}$ вдоль наклонной плоскости?

Наклонная плоскость (параллелограмм) под углом α к горизонту; на нижнем ребре точка Q, на верхнем — точка A, отрезок AQ; шайба D, угол β между QA и QD; слева вектор g вниз.

Отговори

Решение

Заметим, что искомый угол $\beta$ – это угол между прямыми, которым принадлежат вектор $\vec{F}_k$ (силы Кулона) и проекция $m\vec{g}$ на наклонную плоскость.

Вид на наклонную плоскость: вертикальная прямая QA, угол β между QA и наклонной линией от Q; силы F_k (вдоль наклонной вверх), F_тр. (влево) и mg sinα (вниз).

Допустим, шайба находится в состоянии равновесия. Сумма сил, действующих на нее при этом, должна быть равна нулю. Для построения треугольника поступим следующим образом. Отложим постоянную компоненту $mg\sin\alpha$ первой, так как она не меняется при любых положениях шайбы. Теперь от конца вектора $mg\sin\alpha$ мы должны отложить вектор силы трения. Подчеркнем, что значение $|\vec{F}_{\text{тр}}| = \mu mg\cos\alpha$ , а направление его может быть любым, то есть множество концов всевозможных векторов $\vec{F}_{\text{тр}}$ образуют окружность. Вектор $\vec{F}_k$ должен замкнуть треугольник сил (иначе силы не уравновесят друг друга). Мысленно вращая $\vec{F}_{\text{тр}}$ , видим, что максимальный угол реализуется в случае касания $\vec{F}_k$ окружности сил трения (в точке C), то есть

Треугольник сил: вектор mg sinα вниз, из его конца — окружность возможных концов векторов F_тр.; вектор F_k замыкает треугольник и касается окружности в точке C.

\sin\beta = \frac{\mu mg\cos\alpha}{mg\sin\alpha} = \mu\operatorname{ctg}\alpha,

следовательно,

\beta \le \arcsin(\mu\operatorname{ctg}\alpha).

Пользуясь изложенным подходом, можете попробовать определить вид области “покоя” шайбы на наклонной плоскости. (На границе области $\vec{F}_k$ будет направлен вдоль проекции силы тяжести на наклонную плоскость).

Оригинал в Архива: 1991problems.pdf · официални решения: 1991solutions.pdf