BelPhO 1992, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-1

• $\tau=\tau_0\left(1+\frac{a^2}{g^2}\right)^{\frac{1}{4}}$

  В решении время падения в покоящемся баке обозначено $\tau_0$ (в условии — $t_0$).

Так как сила сопротивления зависит от скорости, то по прошествии небольшого промежутка времени шарик будет двигаться равномерно. При движении шарика в покоящемся баке скорость установившегося движения может быть найдена из уравнения

Это уравнение можно переписать в виде

где $\rho,\rho_0$ — плотности шарика и жидкости соответственно, $V$ — объем шарика, $\beta$ — коэффициент пропорциональности между силой сопротивления и квадратом скорости.

Так как, по условию, бак высокий, можно пренебречь начальным участком движения, на котором скорость шарика изменяется, тогда $v_0=\frac{h}{\tau_0}$, где $h$ — высота бака. Подставим в (1)

Падение шарика в ускоренно движущемся баке удобно рассматривать в неинерциальной системе отсчета, связанной с баком. В этом случае необходимо учесть силу инерции — $m\vec a$ действующую на шарик. (Отметим, что задачу можно решать и в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью земли).

Можно воспользоваться уравнением (1), в котором следует заменить ускорение свободного падения $\vec g$ на эффективное $\vec g^*=\vec g-\vec a.$ Шарик будет двигаться вдоль линии, по которой направлен вектор $\vec g^*,$ и пройдет до дна путь

тогда уравнение аналогичное (2) имеет вид

Разделим почленно (2) на (3)

Откуда