Съдържание

BelPhO 1992, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1992

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Гомель, 1992 г.)

Условие

Цилиндрическая горизонтальная трубка радиусом $r=1{,}0\,\text{см}$ наполовину заполнена водой. Через трубку постоянно прокачивают воздух. Температура воздуха и воды в трубке равна $t=20^0\,C$ , влажность воздуха, поступающего в трубку, равна $\varphi=60\%$ . Известно, что при данной температуре $\eta=4{,}0\%$ молекул водяного пара, попадающих на поверхность воды, задерживаются ею. Оцените время, за которое вся вода в трубке испарится. Давление насыщенных паров воды при температуре $t=20^0\,C$ равно $P_0=2{,}3\,\text{кПа}$ .

Горизонтальная цилиндрическая трубка, наполовину заполненная водой (затенённая нижняя половина); стрелки показывают поток воздуха вдоль трубки.

Отговори

Решение

Процесс испарения заключается в том, что часть молекул жидкости вылетает из ее поверхности. Непосредственно подсчитать количество таких молекул довольно трудно. Однако можно найти количество молекул, попадающих из пара в жидкость. Если жидкость и пар находятся в равновесии (а такой пар называется насыщенным), то количество молекул, покидающих поверхность жидкости, в среднем равно количеству молекул, попадающих внутрь жидкости. Так как температура и парциальное давление насыщенного пара известны, то можно найти число молекул, попадающих на единицу площади поверхности в единицу времени. Действительно, число ударов молекул газа о площадь $S$ поверхности за время $\Delta t$ равно

N_0=\frac{1}{4}nv_{\text{ср}}S\Delta t, \qquad (1)

где $n$ — концентрация молекул газа, $v_{\text{ср}}$ — средняя скорость молекул. Из уравнения $P=nkT$ можно получить $n=\frac{P}{kT},$ а средняя скорость $v_{\text{ср}}=\sqrt{\frac{8}{\pi}\frac{kT}{m}}.$

Из общего числа молекул, падающих на поверхность, только $\eta=0{,}04$ задерживается ею, поэтому число молекул, попадающих внутрь жидкости, а следовательно, вылетающих из нее, равно

N_1=\eta N_0=\frac{\eta P_0S\Delta t}{\sqrt{2\pi kTm}}. \qquad (2)

Так как, в данном случае, над жидкостью пар не насыщенный, то концентрация молекул пара меньше, и, по определению влажности $\varphi,$ $n=\varphi n_0,$ где $n_0$ — концентрация молекул насыщенного пара. Тогда число молекул, попадающих внутрь жидкости, равно

N_2=\frac{\eta\varphi P_0}{\sqrt{2\pi kTm}}S\Delta t. \qquad (3)

Таким образом, за время $\Delta t$ жидкость теряет $N=N_1-N_2$ молекул

N=\frac{\eta\left(1-\varphi\right)P_0}{\sqrt{2\pi kTm}}S\Delta t. \qquad (4)

Найдем на сколько изменяется масса жидкости

\Delta M=mN=\eta\left(1-\varphi\right)P_0S\Delta t\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}},

а объем, соответственно, на

\Delta V=\frac{\Delta m}{\rho}=\frac{\eta\left(1-\varphi\right)P_0}{\rho}S\Delta t\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}.

Так как площадь поверхности изменяется по мере высыхания, таким образом величина $\Delta V$ не остается постоянной. Однако скорость изменения высоты уровня жидкости в трубке $\Delta h=\frac{\Delta V}{S}$ постоянна. Полное изменение высоты равно радиусу трубки $r.$ Поэтому

r=\frac{\eta\left(1-\varphi\right)P_0}{\rho}\Delta t\sqrt{\frac{\mu}{2\pi RT}},

где $\mu$ — молярная масса воды, $R$ — универсальная газовая постоянная. Из этого уравнения получим время испарения:

\Delta t=\frac{r\rho}{\eta\left(1-\varphi\right)P_0}\sqrt{\frac{2\pi RT}{\mu}}\approx250\,\text{с}.

Отметим, что при решении этой задачи можно было использовать формулу для среднего числа ударов молекул о поверхность, приведенную в школьном учебнике (с коэффициентом 1/6) и вместо средней скорости пользоваться среднеквадратичной (также используемой в школьном курсе физики) - это не скажется существенно на оценке времени испарения.

Оригинал в Архива: 1992problems.pdf · официални решения: 1992solutions.pdf