Съдържание

BelPhO 1992, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1992

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Гомель, 1992 г.)

Условие

Однородный диск, вращающийся вокруг собственной оси, аккуратно кладут на горизонтальную поверхность. Поверхность разделена на две полуплоскости, такие, что коэффициент трения диска об одну из них равен $\mu_1$ , а о другую – $\mu_2$ . Центр диска находится на границе раздела. Определите ускорение центра диска в начальный момент времени.

Вид сверху: квадратная поверхность, разделённая вертикальной границей на левую полуплоскость μ1 и правую μ2; на границе лежит вращающийся диск (круговая стрелка вращения по часовой стрелке), центр диска на границе.

Отговори

Решение

Окружность с центром O и осями x, y; слева область μ1, справа μ2; симметричные относительно оси x малые дуги Δl_i и Δl_j с силами трения F_i и F_j, направленными по касательным; угол α_i между радиусом к Δl_i и осью y.

Для корректного учета действия элементарных сил трения разделим диск (мысленно) на тонкие кольца и рассмотрим одно из них. В свою очередь рассечем кольцо на малые дуги и рассмотрим симметричную относительно оси $OX$ пару $\Delta l_i$ и $\Delta l_j$ . Сумма $\vec F_i+\vec F_j$ сил трения, вследствие симметрии, параллельна оси $OY$ , что говорит о том, что равнодействующая всех сил трения также будет параллельна этой оси. Следовательно, ускорение центра диска будет направлено вдоль границы раздела полуплоскостей вдоль оси $OY$ . Для определения его величины найдем сумму

\sum_i F_i\sin\alpha_i=\mu_1\rho g\sum_i\Delta l_i\sin\alpha_i=\mu_1\rho g2R_k, \qquad (1)

где $\mu_1$ – соответствующий коэффициент трения, $\rho=\frac{m_k}{2\pi R_k}$ – линейная плотность рассматриваемого кольца, которая представляет собой сумму элементов кольца, принадлежащих левой полуплоскости. Для всего кольца

\sum_i F_i\sin\alpha_i=m_kg\frac{\mu_1-\mu_2}{\pi}=F^k. \qquad (2)

Суммируя по всем кольцам

\sum_k F^k=mg\frac{\mu_1-\mu_2}{\pi}, \qquad (3)

где $m$ – масса диска. Формула (3) дает выражение для равнодействующей всех сил трения, действующих на диск. Для ускорения имеем

a=g\frac{\mu_1-\mu_2}{\pi}.

Оригинал в Архива: 1992problems.pdf · официални решения: 1992solutions.pdf