Съдържание

BelPhO 1995, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1995

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Лида, 1995 г.)

Условие

На двух горизонтальных параллельных проводящих рельсах свободно лежат две одинаковых проводящих перемычки параллельно друг другу и перпендикулярно рельсам. В некоторый момент времени достаточно быстро “включили” однородное вертикальное магнитное поле. Считая, что сопротивление рельсов значительно меньше сопротивления перемычек и пренебрегая трением, найдите, во сколько раз изменилось расстояние между перемычками.

Два горизонтальных рельса с двумя перемычками; вектор g вниз и вектор B вверх (вертикальное магнитное поле).

Отговори

Решение

Найдем скорость, которую приобретет каждая перемычка в ходе быстрого включения поля.

При изменении магнитного поля возникает эдс индукции

E_{\text{инд}} = al_0\frac{\Delta B}{\Delta t},

где $a$ – расстояние между рельсами, $l_0$ – начальное расстояние между перемычками. (Так как поле изменяется быстро, что смещением перемычек за время «включения» пренебрегаем.)

В контуре возникнет электрический ток силой

I = \frac{E_{ind}}{R} = \frac{al_0}{R}\frac{\Delta B}{\Delta t},

( $R$ – общее сопротивление перемычек).

Сила, действующая на перемычку (внутрь)

F = IBa = \frac{a^2 l_0}{R}B\frac{\Delta B}{\Delta t}.

Импульс, приобретенный перемычкой

mv = \sum F\Delta t = \frac{a^2 l_0}{R}\sum B\Delta B = \frac{a^2 l_0}{R}\frac{B_0^2}{2},

где $B_0$ – индукция включенного поля.

Отсюда скорость, которую приобретут перемычки равна $v_0 = \dfrac{a^2 l_0}{2Rm}B_0^2$ .

Дальше перемычки движутся в постоянном поле $B_0$ . При этом в контуре также возникает эдс индукции

E_{\text{инд}} = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = B_0 a\frac{\Delta l}{\Delta t} = 2B_0 av,

$v$ – текущее значение скорости. (коэффициент 2 появился из-за того, что движутся две перемычки.)

Тормозящая сила , действующая на одну из перемычек равна

F = IBa = \frac{E_{ind}}{R}B_0 a = 2\frac{B_0^2 a^2}{R}v.

Запишем уравнение второго закона Ньютона:

m\frac{\Delta v}{\Delta t} = -2\frac{B_0^2 a^2}{R}v,

учитывая, что $v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ , получим

m\frac{\Delta v}{\Delta x} = -2\frac{B_0^2 a^2}{R},

т.е. до остановки каждая перемычка пройдет расстояние

x_1 = \frac{mv_0 R}{2B_0^2 a^2} = \frac{mR}{2B_0^2 a^2}\frac{B_0^2 a^2 l_0}{2Rm} = \frac{l_0}{4}.

Окончательно, расстояние между перемычками уменьшится на $2x_1 = \dfrac{l_0}{2}$ , т.е. уменьшится в два раза. Интересно отметить, что результат не зависит от параметров задачи.

Оригинал в Архива: 1995problems.pdf · официални решения: 1995solutions.pdf