Съдържание

BelPhO 1995, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1995

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Лида, 1995 г.)

Условие

Внутри открытой горизонтальной цилиндрической трубки находятся два легкоподвижных плотно пригнанных металлических поршня, между которыми находится идеальный газ. Поршни подключены к регулируемому источнику постоянного напряжения. Напряжение источника равно $U_0$ , поршни находятся в равновесии на расстоянии $d_0$ друг от друга. Как изменится расстояние между поршнями, если медленно увеличить напряжение источника в два раза? Атмосферным давлением пренебречь, температуру газа считать постоянной, его диэлектрическая проницаемость $\varepsilon = 1$ .

Трубка с двумя поршнями на расстоянии d₀, между ними газ; поршни соединены проводами с источником напряжения U₀.

Отговори

Решение

На поршни действуют:

а) сила давления газа, которое можно вычислить по заказу Бойля-Мариотта

P = \frac{P_0 V_0}{V} = P_0\frac{d_0}{d}, \qquad (1)

«направленная наружу».

б) сила электрического «давления» (с учетом $E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$ )

P_{\text{эл}} = \sigma E' = \frac{\sigma E}{2} = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} = \frac{\varepsilon_0 U^2}{2d^2}, \qquad (2)

направленная «внутрь».

В положении равновесия $P = P_{\text{эл}}$ или $P_0\dfrac{d_0}{d} = \dfrac{\varepsilon_0 U^2}{2d^2}$ , откуда следует

\frac{U^2}{d} = const = \frac{U_0^2}{d_0},

т.е.

d = d_0\frac{U^2}{U_0^2}.

Из соотношения следует, что при увеличении напряжения в два раза, расстояние между поршнями должно увеличиться (?!) в четыре раза, что явно противоречит здравому смыслу.

Графики давления P от расстояния d: кривая 1 (давление газа), кривая 2 (давление электрического поля) и пунктирная кривая 3 (при большем напряжении); точки пересечения d₀ и d′.

Разрешение парадокса заключается в том, что в данной системе положение равновесия не является устойчивым. На рисунке изображены зависимости давления газа (кривая 1, формула (1)) и давления электрического поля (кривая 2, формула(2)) от расстояния $d$ между поршнями. Точка их пересечения соответствует положению равновесия $d_0$ . При случайном отклонении поршней от этого положения возникает сила, еще дальше уводящая их от этого положения. Если расстояние случайно стало меньше $d_0$ , то сила электрического притяжения начинает превышать силу давления газа. При увеличении напряжения положение равновесия смещается в сторону больших значений $d$ (на рисунке кривая 3 соответствует большему напряжению, точка $d'$ - новое положение равновесия - и тоже неустойчивое), однако, поршни не стремятся к этому новому положению равновесия, а, наоборот уходят от него.

Таким образом, ответ задачи: поршни «схлопнутся», т.е. $d$ =0! Более подробное доказательство неустойчивости положения равновесия приведено в журнале «Фокус» №3 за 1995год.

Оригинал в Архива: 1995problems.pdf · официални решения: 1995solutions.pdf