Съдържание

BelPhO 1995, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1995

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Лида, 1995 г.)

Условие

Три шарика массами $m,2m,m$ шарнирно скреплены легкими жесткими стержнями длиной $l$ и установлены вертикально на гладкой горизонтальной плоскости. Систему легким толчком выводят из положения равновесия. Определите скорости шаров в момент когда стержни составляют угол $\beta$ с горизонтом, если система все время остается в вертикальной плоскости. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Шар массой 2m на двух вертикальных стержнях над шарами m, m на горизонтальной плоскости; тонкими линиями показано последующее положение стержней под углом β к горизонту; справа вектор g вниз.

Отговори

Решение

По условию задачи система находится в вертикальной плоскости, т.е. в плоскости рисунка. Ввиду симметричного разъезжания стержней скорости нижних тел, скользящих по плоскости, одинаковы по модулю

\left|\vec v_1\right| = \left|\vec v_2\right|

Диссипативные силы отсутствуют, поэтому можно воспользоваться законом сохранения энергии. Будем считать, что значение потенциальной энергии отсчитывается от плоскости основания. Тогда

E_{\text{пот.1}} = E_{\text{пот.2}} + E_{\text{кин.2}},

где

E_{\text{пот.1}} = 2mgl,\ E_{\text{пот.2}} = 2mgl\sin\beta,\ E_{\text{кин.2}} = \frac{2mu^2}{2} + 2\frac{mv^2}{2} = m\left(u^2 + v^2\right).

Система в промежуточном положении: шар 2m в вершине, стержни под углом β к горизонту к шарам m; нижние шары движутся со скоростями v₁ влево и v₂ вправо, верхний — со скоростью U вниз; пунктиром — начальное положение; вектор g.

Подстановка соотношений для энергий в закон сохранения дает

2gl = 2glsib\beta + u^2 + v^2. \qquad (1)

С другой стороны, неизменность длины стержня (по условию стержни жесткие) позволяет записать второе уравнение для проекций скоростей движения тел на направление прямой, проходящей по оси стержня

v\cos\beta = u\sin\beta, \Rightarrow v = u\operatorname{tg}\beta. \qquad (2)

Совместное решение (1), (2) позволяет выразить скорости шариков

u = \cos\beta\sqrt{2gl\left(1 - \sin\beta\right)},\ v = \sin\beta\sqrt{2gl\left(1 - \sin\beta\right)}.

Оригинал в Архива: 1995problems.pdf · официални решения: 1995solutions.pdf