BelPhO 1997, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-4

• 11-4-1. m0 ≈ 1 т, μ1 ≈ 0,1 т/с

• 11-4-2. m0 ≈ 25 т, μ ≈ 0,12 т/с

  В решении напечатано $\mu_1$ вместо $\mu_2$; время полного высыпания в решении не вычислено.

• 11-4-3. 20 m/s

11-4-1. Поскольку масса платформы меняется, то второй закон Ньютона запишем в форме (изменение импульса системы равно импульсу внешней силы)

где $m_0$- начальная масса платформы, $\mu_1$- скорость погрузки, $v$ - скорость платформы в момент времени $t$. Заметим, что уравнение второго закона Ньютона в форме

в данном случае неприменимо, так как насыпающийся песок действует на платформу с некоторой тормозящей силой, которую здесь необходимо учесть.
В уравнении (1) две неизвестные величины $m_0$ и $\mu_1$ . Поэтому, в принципе, можно снять из графика зависимости $v(t)$ данные для двух различных моментов времени и решить полученную систему уравнений. Однако, определить по графику нужные значения можно только с определенной погрешностью. Для уменьшения последней предпочтительнее использовать больше исходной информации. Из уравнения (1) следует, что масса платформы как функция времени может быть представлена в виде

Используя приведенный в условии график, можно построить зависимость величины $F_1 t / v$ от времени, которая должна быть линейной, а затем обрабатывая этот график легко найти требуемые параметры. Такая процедура приводит к результату $m_0 \approx 1\text{Т}, \mu_1 \approx 0{,}1\text{Т} / \text{с}.$

11-4-2. Движение платформы в случае разгрузки подчиняется уравнению

Высыпающийся песок имеет ту же горизонтальную составляющую скорости, что и платформа, поэтому непосредственно на платформу не действует. Поясним, что закон Ньютона в форме (1) в этой ситуации неприменим, так как часть импульса уносит высыпающийся песок. Из уравнения (4) следует

Ускорение платформы $a$ можно определить по графику зависимости $v(t)$ , как коэффициент наклона касательной. Однако, в данном случае график изогнут слабо, поэтому строить касательные затруднительно, да и точность таких построений не высока - можно ограничиться нахождением ускорений в двух произвольных точках. Например, в начале движения ускорение приблизительно равно 0,2 м/с$^2$, а в конце достигает величины 0,4 м/с$^2$. Учитывая эти данные находим $m_0 \approx 25\text{Т}, \mu_1 \approx 0{,}12\text{Т} / \text{с}.$

11-4-3. Вычислим силу $F^*$, с которой насыпающийся песок действует на движущуюся платформу. За небольшой промежуток времени $\Delta t$ порция песка массой $\mu_1\Delta t$ увеличивает скорость от нуля до $v$. Следовательно, на этот песок действует сила, импульс которой $F\Delta t$ равен изменению импульса песка

Отсюда находим

С такой же силой насыпающийся песок действует на платформу. Если эта сила равна внешней приложенной силе $F_1$, то платформа будет двигаться с постоянной скоростью $v_0$, то есть

или $v_c = \dfrac{F_1}{\mu_1} = 20\,\text{м} / \text{с}.$