BelPhO 1998, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-4

• 0.98 m

Попытаться рассчитать переходный режим (установление колебаний) вручную за короткое время, по-видимому, задача трудновыполнимая. Поэтому, обсудим возможный режим установившихся колебаний. Единственная сила, действующая на брусок в горизонтальном направлении (и заставляющая его двигаться) - сила трения со стороны колеблющейся ленты. Направление этой силы зависит от направления относительной скорости движения бруска, поэтому оно будет постоянно изменяться. Ускорение ленты, а, следовательно, и ее скорость меняются в достаточно больших пределах. Не составляет труда подсчитать максимальную скорость ленты - порядка 10м/с. На нижнем рисунке схематически изображен график зависимости скорости ленты от времени - это набор отрезков парабол - кривая 1 (как будет видно ниже, нам не понадобится точный вид этой зависимости). Коэффициент трения между бруском и лентой транспортера невелик $\mu = 0{,}10$, поэтому ускорение бруска в $10$ раз меньше максимального ускорения призмы. Следовательно, в установившемся режиме скорость бруска также будет изменяться в небольших пределах, а остановки бруска относительно ленты будут происходить в те моменты времени, когда ее скорость мала, а ускорение велико. В эти моменты времени сила трения покоя не сможет удержать брусок на ленте, он будет постоянно проскальзывать относительно нее.

Следовательно, брусок будет двигаться с постоянным по модулю ускорением равным $\mu g$, а его скорость изменяться по линейному закону. В установившемся режиме период колебаний бруска совпадает с периодом колебаний ленты (конечно, это не гармонические колебания). Схематически зависимость скорости бруска от времени показана на рисунке (ломанная 2). Найдем максимальное значение скорости бруска $V_m$. За промежуток времени $2\tau$ его скорость изменяется от $-V_m$ до $+V_m$, при этом он движется равноускоренно, поэтому

Откуда следует $V_m = \mu g\tau \approx 1{,}0\,\mathrm{м/с}$, что в десять раз больше максимальной скорости ленты, поэтому предположение о том, что в моменты времени, когда скорости бруска и ленты равны, ускорение ленты превышает по модулю $\mu g$ полностью оправдано. Максимальное смещение бруска при таком движении, амплитуда его колебаний, определяется формулой

Заметим, что закон движения бруска не зависит от закона движения ленты, если только последняя движется по периодическому закону с достаточно большой амплитудой. В частности, наше решение остается справедливым, если ускорение ленты изменяется в тех же пределах, но по гармоническому закону. Так же отметим, что утверждение о равенстве периодов вынужденных колебаний и вынуждающей силы справедливо для любых типов колебаний.