BelPhO 1998, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-5

• 0.0011 m

Гидродинамический удар в трубах возникает при резкой остановке течения воды, в следствие возникновения сил препятствующих этому движению. После перекрывания трубы в жидкости возникает волна сжатия которая движется со скоростью звука в воде $c$. Следовательно за малый промежуток времени $\Delta t$ останавливается столб воды длиной $l = c\Delta t$. Сила $F$, которая приводит к остановке, с одной стороны равна $PS$, (где $P$ - избыточное давление в трубе, $S$ - площадь поперечного сечения трубы), а с другой определяется вторым законом Ньютона $F\Delta t = m\Delta V$. Приравнивая эти выражения, получим

Откуда находим избыточное давление

Интересно отметить, что в данном случае численное значение $P \approx 1{,}5\cdot 10^6\,\mathrm{Па} \approx 15\,\mathrm{атм}$.

Найдем теперь толщину стенок трубы, которые могут выдержать пятикратное превышение этого давления. Выделим на стенке трубы небольшой участок длиной $l$ и видимый из центра под малым углом $\Delta\alpha$. Сила давления $P\Delta S = Pr\Delta\alpha l$ должна быть уравновешена силами упругости, возникающими в стенках трубы $T$, модуль суммы которых равен

где $\sigma$ - механическое напряжение в стенках трубы, которое не превышает $\sigma_{\mathrm{пр.}}$ Учитывая, что давление должно в $n = 5$ раз превышать давление гидродинамического удара, получим из условия равновесия

Из этой формулы следует