Съдържание

BelPhO 1998, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1998

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Гомель, 1998 г.)

Условие

Два одинаковых цилиндрических бака расположены один над другим и соединены между собой трубой с насосом. Баки частично заполнены водой. Площади оснований баков равны $S$ . На сколько изменится вес всей системы, когда насос начнет перекачивать воду из нижнего бака в верхний с постоянной скоростью $V\,(\mathrm{м^3/с})$ ? А если насос будет перекачивать воду из верхнего в нижний с той же скоростью?

Два цилиндрических бака с водой один над другим на подставке, соединенные трубой с насосом; справа стрелка вектора g вниз.

Отговори

Решение

Для решения данной задачи удобно воспользоваться уравнением движения для системы тел: произведение массы системы на ускорение центра масс равно сумме внешних сил, действующих на систему.

В данном случае

Ma_c = P - Mg, \qquad (1)

где $M$ - масса всей системы, $P$ - ее вес, $a_c$ - ускорение центра масс. Когда вода (а, следовательно и центр масс) неподвижна, то вес системы $P_0$ равен силе тяжести $Mg$ . Поэтому изменение веса при перекачке воды определяется выражением

\Delta P = Ma_c. \qquad (2)

При перекачке уровни воды в сосудах $h_1$ и $h_2$ будут изменяться, конечно, по линейному закону

\begin{aligned} h_1 &= h_{10} + \frac{V}{S}t \\ h_2 &= h_{20} - \frac{V}{S}t \end{aligned} \qquad (3)

но положение центра масс всей системы будет изменяться по закону квадратичному. Действительно, высота центра масс $Z_c$ может быть найдена из уравнения

MZ_c = M_0 Z_0 + \rho Sh_1\left(l + \frac{h_1}{2}\right) + \rho Sh_2\frac{h_2}{2}, \qquad (4)

где $M_0$ , $Z_0$ - масса и высота центра масс установки без воды, $l$ - высота верхнего бака. Подставляя выражения (3), получим

\begin{aligned} MZ_c &= M_0 Z_0 + \rho Slh_{10} + \frac{1}{2}\rho Sh_{10}^2 + \\ &+ \frac{1}{2}\rho Sh_{20}^2 + \rho V(l + h_{10} + h_{20})t + \rho\frac{V^2}{S}t^2 \end{aligned}. \qquad (5)

Из выражений (2) и (5) следует

\Delta P = Ma_c = 2\rho\frac{V^2}{S}

Заметим, что ответ не зависит от того, перекачивают воду вверх или вниз. Может эта задача вам покажется более понятной, если Вы проведете аналогию с двумя грузами, подвешенными на нити, перекинутой через блок . При ускоренном движении грузов вес всей системы также изменяется. Замените грузы тяжелой однородной веревкой и Вы получите простейший механический аналог этой задачи.

Оригинал в Архива: 1998problems.pdf · официални решения: 1998solutions.pdf