Съдържание

BelPhO 1998, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1998

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Гомель, 1998 г.)

Условие

Два одинаковых металлических шарика массы $m = 1{,}0\,\mathrm{г}$ подвешены в одной точке на двух непроводящих нитях длины $l = 15\,\mathrm{см}$ .

Два шарика массы m на нитях длины l, подвешенных в одной точке; нить отклонена от вертикали на угол Θ; слева стрелка вектора g вниз.

График угла отклонения θ (град) от заряда q (10^-7 Кл): возрастающая выпуклая кривая от 0 до примерно 70° при q = 5; по оси q отметки 1–5, по оси θ — 10–90.

Если шарики зарядить, нити отклоняются. На графике дана зависимость угла отклонения $\theta$ от вертикали каждой нити (при равных зарядах на шариках) от величины заряда шарика. Шарики зарядили так, что нити отклонились на угол $\theta = 50^{0}$ . После этого «включили» однородное горизонтальное электрическое поле напряженности $E = 1{,}5\cdot 10^5\,\mathrm{В/м}$ . Найдите угол между нитями после включения поля.

Отговори

Решение

Рассмотрим условия равновесия шариков. На каждый из них действуют $m\vec g$ - сила тяжести, $\vec F$ - сила кулоновского отталкивания, $\vec T$ - сила натяжения нити. Шарики будут находится в равновесии, когда суммарный момент сил, действующих на них будет равен нулю, что будет выполняться при

mgl\sin\theta = Fl\cos\theta. \qquad (1)

Учитывая, что

F = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0(2l\sin\theta)^2}, \qquad (2)

получим уравнение, определяющее угол отклонения нити

\frac{\sin^3\theta}{\cos\theta} = \frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0 l^2 mg}. \qquad (3)

Приведенный в условии график, фактически является решением этого уравнения для различных значений $q$ (в чем можно убедиться непосредственной подстановкой) . По этому графику можно найти величину заряда каждого шарика $q \approx 2{,}6\cdot 10^{-7}\,\mathrm{Кл}$ .

При включении однородного электрического поля на шарики начинает действовать дополнительная сила, которая постоянна и не зависит от положения шариков, так же как и сила тяжести . В таком случае разумно «объединить» эту силу с силой тяжести и ввести, так называемое, «эффективное» ускорение свободного падения $\vec g^*$ , модуль которого

Прямоугольник сил: горизонтальная сила qE, вертикальная сила тяжести mg и их сумма — диагональ m·g*.

g^* = g\sqrt{1 + \left(\frac{qE}{mg}\right)^2}. \qquad (4)

Тогда угол отклонения $\theta_1$ каждой нити от направления вектора $\vec g^*$ можно найти как решение уравнения (3), в котором необходимо заменить $g$ на $g^*$

\frac{\sin^3\theta_1}{\cos\theta_1} = \frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0 l^2 mg^*}. \qquad (5)

К сожалению, это уравнение элементарными методами не разрешимо. Поэтому еще раз воспользуемся предоставленным графиком, для чего перепишем (5) в виде

\frac{\sin^3\theta_1}{\cos\theta_1} = \frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0 l^2 mg^*} = \frac{\left(\sqrt{\frac{g}{g^*}}q\right)^2}{16\pi\varepsilon_0 l^2 mg} \qquad (6)

Как видно, это уравнений полностью совпадает с уравнением (3), если в качестве параметра $q$ использовать величину

q^* = \sqrt{\frac{g}{g^*}}q = \frac{q}{\sqrt[4]{1 + \left(\frac{qE}{vg}\right)}} \approx 1{,}0\cdot 10^{-7}K.

По графику находим $\theta_1 \approx 27^{o}$ , следовательно, искомый угол между нитями равен $2\theta_1 \approx 54^{0}$ .

Оригинал в Архива: 1998problems.pdf · официални решения: 1998solutions.pdf