Съдържание

BelPhO 1999, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1. 9.1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1999

Республиканская олимпиада по физике 1999 год, г. Гродно

Условие

Небольшой шарик падает из точки $A$ на массивную плиту, закрепленную на высоте $h = 1{,}0\,\text{м}$ от поверхности земли и ориентированную под углом $\alpha = 45^{\circ}$ к горизонту. После упругого отражения от плиты шарик падает на поверхность земли в точке $C$ на расстоянии $S = 4{,}0\,\text{м}$ от вертикальной прямой $AB$ . Найдите время движения шарика до удара о землю.

Шарик в точке A над наклонной плитой, закрепленной на высоте h над землей; штриховая вертикаль AB, точка C на земле на расстоянии S от B, вектор g направлен вниз.

На какой высоте необходимо расположить плиту (не меняя ее ориентации), чтобы расстояние $S$ было максимально при неизменном начальном положении шарика в точке $A$ ? Чему оно равно? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Отговори

Решение

Так как плита наклонена под углом $45^{\circ}$ к горизонту, то после удара скорость шарика $\vec{V}_1$ будет направлена горизонтально. Поэтому, движение шарика после удара описывается уравнениями

Схема: точка A на высоте H, плита на высоте h, горизонтальная скорость V1 после отражения и параболическая траектория до точки C на расстоянии S от B.

\begin{cases} S = V_1 t_2 \\ h = \dfrac{g t_2^2}{2} \end{cases}, \qquad (1)

где $t_2$ - время движения от удара о плиту до падения на землю. Из системы уравнений (1) находим

t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}; \qquad V_1 = S\sqrt{\frac{g}{2h}}. \qquad (2)

Зная скорость шарика перед ударом о плиту, найдем время его движения от начальной точки $A$ до удара

t_1 = \frac{V_1}{g} = \frac{S}{\sqrt{2gh}}. \qquad (3)

Полное время движения шарика рассчитаем по формуле

\boxed{t = t_1 + t_2 = \frac{S}{\sqrt{2gh}} + \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 1{,}35\,\text{с}}. \qquad (4)

Используя выражение (3), найдем высоту $H$ точки $A$ над уровнем земли

H = h + \frac{g t_1^2}{2} = h + \frac{S^2}{4h} = 5{,}0\,\text{м}. \qquad (5)

Найдем высоту $h_0$ , на которой необходимо расположить плиту, чтобы дальность полета $S$ была максимальна. Пройдя в свободном падении путь $(H - h_0)$ , шарик наберет скорость $V_1 = \sqrt{2g(H - h_0)}$ . Как следует из формул (2), после отражения он пролетит до падения на землю расстояние

S = V_1\sqrt{\frac{2h_0}{g}} = 2\sqrt{h_0(H - h_0)}. \qquad (6)

Подкоренное выражение представляет собой квадратную функцию от $h_0$ , которая в данном случае достигает максимума при

$\boxed{h_0 = \dfrac{H}{2} = 2{,}5\,\text{м}}$ , при этом $\boxed{S_{max} = H = 5{,}0\,\text{м}}$ .

Оригинал в Архива: 1999problems.pdf · официални решения: 1999solutions.pdf